平面上の曲線の問題

曲線 $C$ を $x,y$ の方程式で表す

$x^2=(\sin \theta +\cos \theta {)}^2={\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =1+2y$

よって $y=\frac{x^2-1}{2}$ である。

$x$ の動く範囲を調べる

$x=\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ である。

$0\leqq \theta <2\pi$ のとき $\frac{\pi }{4}\leqq \theta +\frac{\pi }{4}<\frac{9}{4}\pi$ であり、この範囲で $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ は $-1$ 以上 $1$ 以下のすべての値をとる。

したがって $x$ は $-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$ のすべての値をとる。

また、$y$ は $x$ だけで決まる。ゆえに曲線 $C$ は、放物線 $y=\frac{x^2-1}{2}$ の $-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$ の部分である。

共有点をもつ条件を言いかえる

$y$ を消去すると $\frac{x^2-1}{2}=x+k$ となる。これを $k$ について解くと
$$k=\frac{x^2-2x-1}{2}$$
である。

直線と $C$ が共有点をもつ条件は、この方程式が $-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$ に解をもつことである。

そこで $f(x)=\frac{x^2-2x-1}{2}=\frac{(x-1{)}^2-2}{2}$ とおき、この区間での $f(x)$ の値域を求めればよい。

$f(x)$ の値域を求める

軸 $x=1$ は区間 $-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$ の内部にある。

• 最小値は $f(1)=\frac{-2}{2}=-1$
• 区間の両端の値は
• $f(-\sqrt{2})=\frac{2+2\sqrt{2}-1}{2}=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$
• $f(\sqrt{2})=\frac{2-2\sqrt{2}-1}{2}=\frac{1}{2}-\sqrt{2}$

軸 $x=1$ から遠いのは $x=-\sqrt{2}$ のほうなので、最大値は $\frac{1}{2}+\sqrt{2}$ である。

$f(x)$ は連続なので、最小値と最大値の間のすべての値をとる。

答え

$$-1\leqq k\leqq \frac{1}{2}+\sqrt{2}$$

$x=\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin (\theta +\pi /4)$ より、$x$ の取りうる値の範囲は $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}$ である。\n$x^2=1+2\sin \theta \cos \theta$ より $y=\frac{x^2-1}{2}$ となる。したがって曲線 $C$ は放物線 $y=\frac{x^2-1}{2}$ の $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}$ の部分である。この範囲の各 $x$ に対して対応する $\theta$ が存在する。\n直線 $y=x+k$ と共有点をもつ条件は、$k=y-x=\frac{x^2-1}{2}-x=\frac{(x-1{)}^2-2}{2}$ を満たす $x$ が $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ に存在することである。\n$f(x)=\frac{(x-1{)}^2-2}{2}$ とおく。$x=1$ で最小値 $f(1)=-1$ をとる。\n端点では $f(-\sqrt{2})=\frac{2+2\sqrt{2}-1}{2}=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$、$f(\sqrt{2})=\frac{1}{2}-\sqrt{2}$ である。軸 $x=1$ から遠いのは $x=-\sqrt{2}$ なので、最大値は $\frac{1}{2}+\sqrt{2}$ である。\n$f$ は連続なので、値域は $-1\le k\le \frac{1}{2}+\sqrt{2}$ となる。\n検算：$k=-1$ のとき接点 $x=1$、$y=0$ で、$\theta =\pi /4$ に対応する。$x=1$ は範囲内なので適する。