平面上の曲線の問題

手順1：媒介変数 $\theta$ を消去する

$x=\cos \theta -\sin \theta$ の両辺を 2 乗すると
$$x^2={\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta +{\sin }^2\theta =1-2\sin \theta \cos \theta$$
となる。2 倍角の公式より $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta =y$ なので
$$x^2=1-y\text{すなわち}y=1-x^2$$
である。よって $f(x)=1-x^2$ である。

手順2：$x$ のとりうる範囲を調べる

2 乗して $\theta$ を消去すると、$x$ の範囲の情報が失われるので、もとの式に戻って調べる。三角関数の合成により
$$x=\cos \theta -\sin \theta =\sqrt{2}\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$$
である（加法定理で展開すると $\sqrt{2}\left(\cos \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-\sin \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\cos \theta -\sin \theta$ となり確かめられる）。

$0\leqq \theta <2\pi$ のとき $\frac{\pi }{4}\leqq \theta +\frac{\pi }{4}<\frac{9}{4}\pi$ であり、これは 1 周期分なので $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ は $-1$ 以上 $1$ 以下のすべての値をとる。したがって
$$-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$$
である。

手順3：まとめる

範囲内の各 $x$ に対して、その $x$ を与える $\theta$ をとれば $y=1-x^2$ が成り立つので、曲線 $C$ は放物線 $y=1-x^2$ のうち $-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$ の部分である。

よって $(f(x),p,q)=\left(1-x^2,-\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$ である。

$x=\cos \theta -\sin \theta =\sqrt{2}\cos (\theta +\pi /4)$ なので、$\theta$ が $0\leqq \theta <2\pi$ を動くと $x$ の範囲は $-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$ となる。
$x^2={\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta +{\sin }^2\theta =1-\sin 2\theta =1-y$ なので、$y=1-x^2$。
$x$ は $-\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ までのすべての値をとるので、曲線 $C$ は $y=1-x^2$ の $-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$ の部分である。
検算：$\theta =\pi /4$ のとき $x=0$、$y=1$ で、$1-0=1$ となり成り立つ。$\theta =3\pi /4$ のとき $x=-\sqrt{2}$、$y=\sin (3\pi /2)=-1$ で、$1-2=-1$ となり成り立つ。