平面上の曲線の問題

手順 1：離心率を読み取る。
分母の定数項を $1$ にするため、分母・分子を $3$ で割ると
$$r=\frac{\frac{5}{3}}{1-\frac{2}{3}\cos \theta }$$
となる。これは焦点を極とする 2 次曲線の極方程式の形で、離心率は $e=\frac{2}{3}$ である。$0<e<1$ なので、$C$ は原点を焦点の 1 つとする楕円である。

なお、$-1\le \cos \theta \le 1$ より $3-2\cos \theta \ge 1>0$ なので、つねに $r>0$ である。

手順 2：直交座標の方程式に直す。
分母を払うと
$$3r-2r\cos \theta =5$$
$r\cos \theta =x$ を代入して
$$3r=2x+5$$
両辺を 2 乗し、$r^2=x^2+y^2$ を代入すると
$$9(x^2+y^2)=(2x+5{)}^2=4x^2+20x+25$$
整理して
$$5x^2-20x+9y^2=25$$

手順 3：平方完成して標準形にする。
$$5(x^2-4x)+9y^2=25$$
$$5(x-2{)}^2-20+9y^2=25$$
$$5(x-2{)}^2+9y^2=45$$
両辺を $45$ で割って
$$\frac{(x-2{)}^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$$

（確認）この楕円は中心 $(2,0)$、$a=3$、$b=\sqrt{5}$ で、$\sqrt{a^2-b^2}=2$ より焦点は $(0,0)$ と $(4,0)$。原点が焦点になっており、離心率 $\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$ とも一致する。また、2 乗する前の条件 $2x+5=3r>0$ は、楕円上で $-1\le x\le 5$ なのでつねに成り立つ。

よって $(p,a^2,b^2)=(2,9,5)$ である。

極方程式を $r(3-2\cos \theta )=5$ と変形すると $3r=5+2r\cos \theta =5+2x$ となる。両辺を2乗して $9r^2=(5+2x{)}^2$、$r^2=x^2+y^2$ より
$9x^2+9y^2=25+20x+4x^2$
すなわち $5x^2-20x+9y^2=25$。
$5(x-2{)}^2-20+9y^2=25$ より $5(x-2{)}^2+9y^2=45$。両辺を45で割ると
$\frac{(x-2{)}^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$。
よって $p=2,a^2=9,b^2=5$。
検算：離心率 $e=\frac{2}{3}$、$c^2=a^2-b^2=4$ より $c=2$。中心 $(2,0)$ から $c=2$ だけ左の焦点は原点で、極が焦点であることと整合する。また $\theta =0$ のとき $r=5$（点 $(5,0)$）、$\theta =\pi$ のとき $r=1$（点 $(-1,0)$）で、どちらも楕円上にある。なお $x$ の範囲は $-1\le x\le 5$ であり $5+2x>0$ を満たすので、2乗しても同値性は保たれる。