平面上の曲線の問題

手順1：離心率を読み取る

焦点を極とする 2 次曲線の極方程式 $r=\frac{ed}{1+e\cos \theta }$ と比べると、$e=2$、$ed=6$ より $d=3$ である。$e=2>1$ なので、$C$ は原点 $\mathrm{O}$ を焦点の 1 つとする双曲線である。

手順2：直交座標の方程式に直す

分母を払うと
$$r+2r\cos \theta =6$$
$x=r\cos \theta$ を代入して
$$r=6-2x$$
両辺を 2 乗し、$r^2=x^2+y^2$ を用いると
$$x^2+y^2=(6-2x{)}^2=36-24x+4x^2$$
整理して
$$3x^2-24x-y^2+36=0$$

手順3：平方完成して標準形にする

$$3(x^2-8x)-y^2=-36$$
$$3(x-4{)}^2-48-y^2=-36$$
$$3(x-4{)}^2-y^2=12$$
両辺を $12$ で割って
$$\frac{(x-4{)}^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$$

これは双曲線 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ を $x$ 軸方向に $4$ だけ平行移動したものなので、中心は $(4,0)$ である。

（確認）$a^2=4$, $b^2=12$ より $\sqrt{a^2+b^2}=4$ なので、焦点は $(4\pm 4,0)$、すなわち $(0,0)$ と $(8,0)$ である。原点が焦点になっており、手順1と一致する。また、離心率は $\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\frac{4}{2}=2$ で、これも一致する。

答え：$(4,0)$

$r(1+2\cos \theta )=6$ より $r+2x=6$、すなわち $r=6-2x$。両辺を2乗して $x^2+y^2=(6-2x{)}^2=36-24x+4x^2$。整理すると $3x^2-24x+36-y^2=0$。
$3(x-4{)}^2-48+36-y^2=0$ より $3(x-4{)}^2-y^2=12$、つまり $\frac{(x-4{)}^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$。
よって中心は $(4,0)$。

なお、$r<0$ も許す規約のもとでは、$r=6-2x$ が $r<0$ でも成り立つ（点 $(-r,\theta +\pi )$ に対して同じ式が成り立つ）。そのため、両辺を2乗した式は双曲線の両方の枝を含む。
検算：離心率 $e=2$、$\frac{(x-4{)}^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ では $c=\sqrt{4+12}=4$ なので、焦点は $(0,0)$ と $(8,0)$。原点が焦点であり、$e=c/a=4/2=2$ で整合する。