極方程式

$r = 4 cos θ$ や $r cos (θ - \frac{π}{3}) = 2$ のような極方程式を直交座標の方程式に直して円・直線と判定し、図形どうしの交点や弦の長さを求められる

前提

極座標（数学C 平面上の曲線）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
円と直線の位置関係と弦の長さ（数学II 図形と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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円と直線の位置関係と弦の長さ（数学II 図形と方程式）

説明

極方程式とは、極座標 $(r, θ)$ の $r$ と $θ$ の関係式で表した図形の方程式です。 $r = 4 cos θ$ や $r cos (θ - \frac{π}{3}) = 2$ のような式を $x, y$ の方程式に直すと、それが円なのか直線なのかがわかります。直したあとは、これまでに学んだ直交座標の方法で、交点や弦の長さを求められます。

なぜそうしてよいのか

極方程式は「点の極座標 $(r, θ)$ がみたす条件」です。極座標と直交座標は $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ , $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ で結びついています。そこで、式の中に $r cos θ$ , $r sin θ$ , $r^{2}$ のかたまりを作れば、それぞれ $x$ , $y$ , $x^{2} + y^{2}$ に置き換えられます。こうして同じ点の集まりを $x, y$ の条件として書き直せます。なお、極方程式では $r < 0$ も許すのがふつうです。 $r < 0$ の点 $(r, θ)$ は、点 $(∣ r ∣, θ + π)$ のことです。この場合も $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ はそのまま成り立つので、同じように置き換えられます。

かたまりを作る道具は 2 つあります。1 つ目は加法定理です。 $cos (θ - α) = cos θ cos α + sin θ sin α$ と展開すると、 $r cos (θ - α) = p$ は $x cos α + y sin α = p$ という 1 次式になります。つまり直線です。図で見ると、極 O からこの直線に下ろした垂線の足が極座標 $(p, α)$ の点になっています。2 つ目は両辺に $r$ を掛けることです。 $r = 4 cos θ$ に $r$ を掛けると $r^{2} = 4 r cos θ$ 、つまり $x^{2} + y^{2} = 4 x$ となり、円が現れます。

ただし $r$ を掛けると、もとの式をみたさない極 $r = 0$ が紛れ込むおそれがあります。 $r = 4 cos θ$ では $θ = \frac{π}{2}$ のとき $r = 0$ となり、極はもとから図形上にあります。したがって、この場合は掛けても図形は変わりません。

手順

加法定理で $cos (θ \pm α)$ , $sin (θ \pm α)$ を展開し、 $r cos θ$ , $r sin θ$ のかたまりが現れるようにする
かたまりが作れないとき（例: $r = a cos θ$ ）は両辺に $r$ を掛けて $r^{2}$ , $r cos θ$ , $r sin θ$ を作る。このとき極 $(r = 0)$ がもとの図形に含まれるかを確かめる
$r cos θ \to x$ , $r sin θ \to y$ , $r^{2} \to x^{2} + y^{2}$ と置き換えて、直交座標の方程式にする
1 次式なら直線と判定する。 $x^{2} + y^{2}$ を含むなら平方完成して $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = k^{2}$ の形にし、中心と半径を読み取る
直交座標の方法で問題を解く。弦の長さは、中心と直線の距離 $d$ を点と直線の距離の公式で求め、 $2 (半径)^{2} - d^{2}$ で計算する

例題

極方程式 $r = 4 cos θ$ で表される円が、極方程式 $r cos (θ - \frac{π}{3}) = 2$ で表される直線から切り取る弦の長さを求めよ。

例題の解答

【手順1】直線の式を加法定理で展開する。 $r (cos θ cos \frac{π}{3} + sin θ sin \frac{π}{3}) = 2$ より、 $\frac{1}{2} r cos θ + \frac{3}{2} r sin θ = 2$ となる。
【手順2】円の式は両辺に $r$ を掛けて $r^{2} = 4 r cos θ$ とする。もとの式は $θ = \frac{π}{2}$ のとき $r = 0$ となるので、極はもとから円上にある。したがって $r$ を掛けても図形は変わらない。
【手順3】置き換えると、直線は $\frac{1}{2} x + \frac{3}{2} y = 2$ 、すなわち $x + 3 y - 4 = 0$ となる。円は $x^{2} + y^{2} = 4 x$ となる。
【手順4】円の式を平方完成すると $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ となる。よって中心 $(2, 0)$ 、半径 $2$ の円である。直線は 1 次式なので直線と確認できる。
【手順5】中心 $(2, 0)$ と直線 $x + 3 y - 4 = 0$ の距離は $d = \frac{∣2 + 0 - 4∣}{1 ^{2} + ( 3 ) ^{2}} = \frac{2}{2} = 1$ である。 $d = 1 < 2$ なので、直線は円と 2 点で交わる。弦の長さは $2 2^{2} - 1^{2} = 23$ となる。

答え: $23$

よくある誤り

$cos (θ - \frac{π}{3})$ を $cos θ cos \frac{π}{3} - sin θ sin \frac{π}{3}$ と展開し、直線を $x - 3 y = 4$ としてしまう誤り。正しくは $cos (θ - α) = cos θ cos α + sin θ sin α$ なので、直線は $x + 3 y = 4$ である。
$x^{2} + y^{2} = 4 x$ を見て中心 $(4, 0)$ 、半径 $4$ の円としてしまう誤り。正しくは平方完成して $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ とし、中心 $(2, 0)$ 、半径 $2$ と読み取る。
$r = 2$ を $x^{2} + y^{2} = 2$ と直してしまう誤り。 $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ なので、正しくは $x^{2} + y^{2} = 4$ （中心 O、半径 $2$ の円）である。
$r = 4 cos θ$ を $cos θ = \frac{x}{r}$ で直そうとして、 $r = x^{2} + y^{2}$ を代入したまま根号の残る式で止めてしまう誤り。正しくは両辺に $r$ を掛けて $r^{2} = 4 r cos θ$ とし、 $x^{2} + y^{2} = 4 x$ にする。このとき、極がもとの図形に含まれるか（ここでは $θ = \frac{π}{2}$ で $r = 0$ なので含まれる）も確かめる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2 次曲線の極方程式（数学C 平面上の曲線）