平面上の曲線の問題

極方程式を直交座標の方程式に直します。使う関係式は $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$, $r^2=x^2+y^2$ です。

曲線 $C$ を直す

$r=4\sin \theta$ の両辺に $r$ を掛けると
$$r^2=4r\sin \theta$$
となります。$r^2=x^2+y^2$, $r\sin \theta =y$ を代入すると
$$x^2+y^2=4y$$
平方完成して
$$x^2+(y-2{)}^2=4$$
よって $C$ は中心 $(0,2)$、半径 $2$ の円です。（両辺に $r$ を掛けて増えるのは極 $r=0$ だけですが、$\theta =0$ のとき $r=0$ なので極ははじめから $C$ 上にあり、図形は変わりません。）

図形 $\ell$ を直す

加法定理で左辺を展開すると
$$r\left(\cos \theta \cos \frac{\pi }{6}+\sin \theta \sin \frac{\pi }{6}\right)=2$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2}r\cos \theta +\frac{1}{2}r\sin \theta =2$$
$r\cos \theta =x$, $r\sin \theta =y$ を代入して両辺を $2$ 倍すると
$$\sqrt{3}x+y=4\text{すなわち}\sqrt{3}x+y-4=0$$
よって $\ell$ は直線です。

弦の長さを求める

円の中心 $(0,2)$ と直線 $\sqrt{3}x+y-4=0$ の距離 $d$ は
$$d=\frac{|\sqrt{3}\cdot 0+2-4|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}}=\frac{2}{2}=1$$
半径 $2$ より $d<2$ なので、直線は円と 2 点で交わります。弦の長さは
$$2\sqrt{2^2-1^2}=2\sqrt{3}$$

（確認：$y=4-\sqrt{3}x$ を $x^2+y^2=4y$ に代入すると $4x^2-4\sqrt{3}x=0$ より $x=0,\sqrt{3}$。交点は $(0,4)$, $(\sqrt{3},1)$ で、その距離は $\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-3{)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ となり一致します。）

答え：$2\sqrt{3}$

$C$: $r=4\sin \theta$ の両辺に $r$ を掛けて $x^2+y^2=4y$、すなわち $x^2+(y-2{)}^2=4$。中心 $(0,2)$、半径 $2$ の円である。

$\ell$: $r\cos (\theta -\frac{\pi }{6})=r\cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+r\sin \theta \cdot \frac{1}{2}=2$ より $\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=2$、すなわち $\sqrt{3}x+y=4$。

円の中心 $(0,2)$ から直線までの距離は $d=\frac{|\sqrt{3}\cdot 0+2-4|}{\sqrt{3+1}}=\frac{2}{2}=1$。

弦の長さは $2\sqrt{2^2-1^2}=2\sqrt{3}$。

検算: $y=4-\sqrt{3}x$ を円の式に代入すると $x^2+(2-\sqrt{3}x{)}^2=4$ より $4x^2-4\sqrt{3}x=0$、$x=0,\sqrt{3}$。交点は $(0,4)$ と $(\sqrt{3},1)$。距離は $\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}$。一致する。

（なお原点 O は $r=0$ で $C$ 上にあるが、$\ell$ 上にはないので問題ない。）