平面上の曲線の問題

極を原点、始線を $x$ 軸の正の部分とする直交座標で考える。$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,x^2+y^2=r^2$ を用いる。

曲線 $C$ について

$r=4\cos \theta$ の両辺に $r$ を掛けると $r^2=4r\cos \theta$ となる。よって
$$x^2+y^2=4x\text{すなわち}(x-2{)}^2+y^2=4$$
である。$C$ は中心 $(2,0)$、半径 $2$ の円である（$r=0$ となる極も $C$ 上にあり、この円上の点である）。

図形 $\ell$ について

加法定理より
$$r\cos \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=r\cos \theta \cos \frac{\pi }{3}+r\sin \theta \sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y$$
である。よって $\ell$ は
$$\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=2\text{すなわち}x+\sqrt{3}y-4=0$$
で表される直線である。

弦の長さ

円の中心 $(2,0)$ と直線 $\ell$ の距離を $d$ とすると
$$d=\frac{|2+\sqrt{3}\cdot 0-4|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{2}{2}=1$$
となる。$d=1<2$（半径）なので、$C$ と $\ell$ は確かに $2$ 点で交わる。

中心から弦に下ろした垂線は弦を二等分する。弦の長さの半分を $h$ とすると、三平方の定理より
$$h^2+d^2=2^2\text{より}h=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$$
である。したがって、求める線分の長さは
$$2h=2\sqrt{3}$$
である。

$C$: $r=4\cos \theta$ の両辺に $r$ をかけて $x^2+y^2=4x$ より $(x-2{)}^2+y^2=4$。中心 $(2,0)$、半径 $2$ の円（原点 $r=0$ も含む）。

$\ell$: $r\cos (\theta -\pi /3)=r(\cos \theta \cdot \frac{1}{2}+\sin \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=2$ より $x+\sqrt{3}y=4$。

円の中心 $(2,0)$ から直線までの距離は $d=\frac{|2-4|}{\sqrt{1+3}}=1$。よって弦の長さは $2\sqrt{2^2-1^2}=2\sqrt{3}$。

検算：$x=4-\sqrt{3}y$ を円の式 $x^2+y^2=4x$ に代入する。$(4-\sqrt{3}y{)}^2+y^2=4(4-\sqrt{3}y)$ より $16-8\sqrt{3}y+3y^2+y^2=16-4\sqrt{3}y$、すなわち $4y^2-4\sqrt{3}y=0$ なので $y=0,\sqrt{3}$。対応する点は $(4,0)$ と $(1,\sqrt{3})$。距離は $\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$。

また $(4,0)$ は $r=4,\theta =0$ で $C$ 上にあり、$(1,\sqrt{3})$ は $r=2,\theta =\pi /3$ で $4\cos (\pi /3)=2$ となり $C$ 上にある。