平面上の曲線の問題

交点を極座標で求める

$r=4\cos \theta$ を $r\cos \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=2$ に代入すると
$$4\cos \theta \cos \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=2$$
$$2\cos \theta \cos \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=1$$
となる。

積和公式 $2\cos \alpha \cos \beta =\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )$ を使うと
$$\cos \left(2\theta -\frac{\pi }{3}\right)+\cos \frac{\pi }{3}=1$$
$$\cos \left(2\theta -\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$$
を得る。

曲線 $C$ 上の点は $r\geqq 0$ の範囲では $-\frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}$ で表せる。このとき
$$-\frac{4\pi }{3}\leqq 2\theta -\frac{\pi }{3}\leqq \frac{2\pi }{3}$$
である。この範囲で $\cos \left(2\theta -\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ となるのは
$$2\theta -\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}$$
のときだけなので、$\theta =0,\frac{\pi }{3}$ である。

• $\theta =0$ のとき $r=4\cos 0=4$
• $\theta =\frac{\pi }{3}$ のとき $r=4\cos \frac{\pi }{3}=2$

よって、2 つの交点は極座標で $A\left(4,0\right)$, $B\left(2,\frac{\pi }{3}\right)$ である。

面積を求める

$OA=4$, $OB=2$, $\angle AOB=\frac{\pi }{3}$ であるから
$$△OAB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\cdot \sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$

直交座標による検算

$C$ は $x^2+y^2=4x$、すなわち中心 $(2,0)$、半径 $2$ の円である。

$\ell$ は $r\left(\frac{1}{2}\cos \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta \right)=2$ より $x+\sqrt{3}y=4$ である。

$x=4-\sqrt{3}y$ を円の式に代入すると
$$(4-\sqrt{3}y{)}^2+y^2=4(4-\sqrt{3}y)$$
$$4y^2-4\sqrt{3}y=0$$
より $y=0,\sqrt{3}$ となる。

したがって交点は $(4,0)$, $(1,\sqrt{3})$ であり、面積は
$$\frac{1}{2}\left|4\cdot \sqrt{3}-0\cdot 1\right|=2\sqrt{3}$$
となって一致する。

答えは $2\sqrt{3}$ である。

曲線 $C$: $r=4\cos \theta$ より $r^2=4r\cos \theta$ なので $x^2+y^2=4x$、すなわち $(x-2{)}^2+y^2=4$。中心 $(2,0)$、半径 2 の円で、原点 $O$ を通る。

直線 $\ell$: $r\cos (\theta -\pi /3)=2$ より $r(\cos \theta \cdot \frac{1}{2}+\sin \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=2$、すなわち $x+\sqrt{3}y=4$。

交点を求める。$x=4-\sqrt{3}y$ を円の式 $x^2+y^2=4x$ に代入する。
$(4-\sqrt{3}y{)}^2+y^2=4(4-\sqrt{3}y)$
$16-8\sqrt{3}y+3y^2+y^2=16-4\sqrt{3}y$
$4y^2-4\sqrt{3}y=0$ より $y=0$ または $y=\sqrt{3}$。
$y=0$ のとき $x=4$、$y=\sqrt{3}$ のとき $x=1$。
よって $A(4,0)$, $B(1,\sqrt{3})$。

面積は $\frac{1}{2}|4\cdot \sqrt{3}-0\cdot 1|=2\sqrt{3}$。

検算: 極座標で見ると、$A$ は $r=4,\theta =0$。$B$ は $r=2$, $\theta =\pi /3$ で、$r=4\cos (\pi /3)=2$ となり $C$ 上にある。$\ell$ では $2\cos 0=2$ で成り立つ。面積は $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\sin (\pi /3)=2\sqrt{3}$ で一致する。