平面上の曲線の問題

極方程式を直交座標の方程式に直します。使う関係式は
$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,r^2=x^2+y^2$$
です。

曲線 $C$ を直交座標で表す

$r=4\sin \theta$ の両辺に $r$ を掛けると $r^2=4r\sin \theta$ となります。$r^2=x^2+y^2$、$r\sin \theta =y$ を代入すると
$$x^2+y^2=4y$$
です。$y$ について平方完成すると
$$x^2+(y-2{)}^2=4$$
となります。よって $C$ は中心 $(0,2)$、半径 $2$ の円です。（$r=0$ となる極 $\mathrm{O}$ もこの円上にあるので、両辺に $r$ を掛けても図形は変わりません。）

図形 $\ell$ を直交座標で表す

加法定理で左辺を展開すると
$$r\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=r\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}+r\cos \theta \sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}x$$
です。したがって $\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=2$、すなわち
$$\sqrt{3}x+y-4=0$$
となり、$\ell$ は直線です。

弦の長さを求める

円の中心 $(0,2)$ と直線 $\sqrt{3}x+y-4=0$ の距離 $d$ は
$$d=\frac{|\sqrt{3}\cdot 0+2-4|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}}=\frac{2}{2}=1$$
です。半径は $2$ で $d<2$ なので、円と直線は 2 点で交わります。中心から弦に下ろした垂線は弦の中点を通るので、三平方の定理より弦の長さは
$$\mathrm{AB}=2\sqrt{2^2-1^2}=2\sqrt{3}$$
です。

（確認）$y=4-\sqrt{3}x$ を $x^2+y^2=4y$ に代入すると $x^2+16-8\sqrt{3}x+3x^2=16-4\sqrt{3}x$ より $4x^2-4\sqrt{3}x=0$、よって $x=0,\sqrt{3}$ です。交点は $(0,4)$, $(\sqrt{3},1)$ であり、その距離は $\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+3^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ となって一致します。

したがって、答えは $2\sqrt{3}$ です。

$C$: $r=4\sin \theta$ の両辺に $r$ を掛けると $r^2=4r\sin \theta$ より $x^2+y^2=4y$、すなわち $x^2+(y-2{)}^2=4$。中心 $(0,2)$、半径 $2$ の円。

$\ell$: $r\left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{3}\right)=2$ より $\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}x=2$、すなわち $\sqrt{3}x+y=4$。

円の中心 $(0,2)$ から直線 $\sqrt{3}x+y-4=0$ までの距離は $d=\frac{|0+2-4|}{\sqrt{3+1}}=\frac{2}{2}=1$。

よって $\mathrm{AB}=2\sqrt{2^2-1^2}=2\sqrt{3}$。

検算: $y=4-\sqrt{3}x$ を円の式に代入すると $x^2+(2-\sqrt{3}x{)}^2=4$ より $4x^2-4\sqrt{3}x=0$、$x=0,\sqrt{3}$。交点は $(0,4)$ と $(\sqrt{3},1)$。距離は $\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}$。一致する。なお原点（極）は $C$ 上の点だが $\ell$ 上にはなく、問題ない。