平面上の曲線の問題

極方程式を直交座標の方程式に直すには、$x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$, $x^2+y^2=r^2$ を使います。

曲線 $C$ を直交座標で表す

$r=4\sin \theta$ の両辺に $r$ を掛けると
$$r^2=4r\sin \theta$$
となります。$r^2=x^2+y^2$, $r\sin \theta =y$ を代入すると
$$x^2+y^2=4y$$
です。$y$ について平方完成すると
$$x^2+(y-2{)}^2=4$$
となるので、$C$ は中心 $(0,2)$、半径 $2$ の円です。

図形 $\ell$ を直交座標で表す

加法定理で左辺を展開すると
$$r\cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=r\left(\cos \theta \cos \frac{\pi }{4}+\sin \theta \sin \frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(r\cos \theta +r\sin \theta )$$
です。$r\cos \theta =x$, $r\sin \theta =y$ を代入すると
$$\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y)=2\sqrt{2}$$
となります。両辺に $\sqrt{2}$ を掛けると $x+y=4$ です。よって $\ell$ は直線
$$x+y-4=0$$
です。

弦の長さを求める

円の中心 $(0,2)$ と直線 $x+y-4=0$ の距離 $d$ は
$$d=\frac{|0+2-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$
です。$d=\sqrt{2}<2$ なので、円と直線は確かに 2 点で交わります。

半径を $2$ として、弦の長さは
$$2\sqrt{2^2-(\sqrt{2}{)}^2}=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$$
です。

（確認）$y=4-x$ を $x^2+y^2=4y$ に代入すると
$$x^2+(4-x{)}^2=4(4-x)$$
となります。整理すると $2x^2-4x=0$ なので $x=0,2$ です。交点は $(0,4)$, $(2,2)$ で、その距離は $\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=2\sqrt{2}$ となり、上の結果と一致します。

答えは $2\sqrt{2}$ です。

曲線 $C$：$r=4\sin \theta$ の両辺に $r$ をかけると $r^2=4r\sin \theta$。$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ を用いると $x^2+y^2=4y$、すなわち $x^2+(y-2{)}^2=4$ となる。$C$ は中心 $(0,2)$、半径 $2$ の円である（原点は極なので除外する必要はなく、円全体）。

図形 $\ell$：加法定理で展開すると $r\left(\cos \theta \cos \frac{\pi }{4}+\sin \theta \sin \frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}$。よって $\frac{x+y}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$、すなわち $x+y=4$ となる。

交点：$y=4-x$ を円の式に代入すると $x^2+(2-x{)}^2=4$、整理して $2x^2-4x=0$、$x=0,2$。交点は $(0,4)$ と $(2,2)$。

弦の長さは $\sqrt{(2-0{)}^2+(2-4{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

検算：円の中心 $(0,2)$ から直線 $x+y-4=0$ までの距離は $\frac{|0+2-4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。弦の長さは $2\sqrt{2^2-(\sqrt{2}{)}^2}=2\sqrt{2}$ で一致する。