平面上の曲線の問題

極座標 $(r,\theta )$ と直交座標 $(x,y)$ の間には $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,r^2=x^2+y^2$ の関係がある。

曲線 $C$ を直交座標で表す。 $r=6\cos \theta$ の両辺に $r$ を掛けると $r^2=6r\cos \theta$ となる。よって
$$x^2+y^2=6x,\text{すなわち}(x-3{)}^2+y^2=9$$
である。$C$ は中心 $(3,0)$、半径 $3$ の円である。

直線 $\ell$ を直交座標で表す。 加法定理を使うと
$$r\cos \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=r\cos \theta \cdot \frac{1}{2}+r\sin \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y$$
となる。よって $\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=3$、すなわち
$$x+\sqrt{3}y-6=0$$
である。

弦の長さを求める。 円の中心 $(3,0)$ と直線 $\ell$ の距離 $d$ は
$$d=\frac{|3+\sqrt{3}\cdot 0-6|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{3}{2}$$
である。$d<3$ なので、$\ell$ は $C$ と 2 点で交わる。

弦の中点と円の中心、交点の 1 つを結ぶと直角三角形ができるので、三平方の定理より、弦の長さは
$$2\sqrt{3^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=2\sqrt{\frac{27}{4}}=2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$
である。

（確認） $x=6-\sqrt{3}y$ を $x^2+y^2=6x$ に代入すると
$$36-12\sqrt{3}y+3y^2+y^2=36-6\sqrt{3}y$$
となり、整理すると $4y^2-6\sqrt{3}y=0$ である。これを解くと $y=0,\frac{3\sqrt{3}}{2}$ となる。

したがって交点は $(6,0)$ と $\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ である。その距離は
$$\sqrt{{\left(\frac{9}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{81+27}{4}}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$
となり、上の結果と一致する。

答えは $3\sqrt{3}$ である。

曲線 $C$: $r=6\cos \theta$ の両辺に $r$ を掛けて $x^2+y^2=6x$、すなわち $(x-3{)}^2+y^2=9$。中心 $(3,0)$、半径 $3$ の円。
直線 $\ell$: $r\cos (\theta -\pi /3)=r(\cos \theta \cdot \frac{1}{2}+\sin \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=3$ より $x+\sqrt{3}y=6$。
中心 $(3,0)$ から直線までの距離は $d=\frac{|3-6|}{\sqrt{1+3}}=\frac{3}{2}$。
弦の長さは $2\sqrt{3^2-(3/2{)}^2}=2\sqrt{9-\frac{9}{4}}=2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
検算：交点は $x=6-\sqrt{3}y$ を円に代入して $(3-\sqrt{3}y{)}^2+y^2=9$ より $4y^2-6\sqrt{3}y=0$、$y=0$ または $y=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。交点は $(6,0)$ と $(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$。距離は $\sqrt{(9/2{)}^2+27/4}=\sqrt{81/4+27/4}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。一致する。