平面上の曲線の問題

曲線 $C$ の確認

$r(2+\cos \theta )=3$ より $2r=3-x$ である。両辺を 2 乗して $r^2=x^2+y^2$ を用いると
$$4(x^2+y^2)=9-6x+x^2$$
$$3x^2+6x+4y^2=9$$
$$\frac{(x+1{)}^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$$
となる。よって $C$ は楕円であり、焦点は $(0,0)$, $(-2,0)$ である。つまり極 $\mathrm{O}$ は $C$ の焦点の 1 つで、$C$ の内部にある。

また、すべての $\theta$ で $2+\cos \theta >0$ なので $r>0$ であり、$\mathrm{O}$ から見た各方向に $C$ 上の点がちょうど 1 つある。

弦の長さを偏角で表す

点 $\mathrm{A}$ の偏角を $\alpha$ とすると、$\mathrm{B}$ の偏角は $\alpha +\pi$ である。$\mathrm{O}$ は線分 $\mathrm{AB}$ 上にあるので
$$\mathrm{AB}=\mathrm{OA}+\mathrm{OB}=\frac{3}{2+\cos \alpha }+\frac{3}{2+\cos (\alpha +\pi )}=\frac{3}{2+\cos \alpha }+\frac{3}{2-\cos \alpha }=\frac{12}{4-{\cos }^2\alpha }$$

同様に、$\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ の偏角は $\alpha +\frac{\pi }{2}$, $\alpha +\frac{3\pi }{2}$ としてよい。$\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \alpha$, $\cos \left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \alpha$ より
$$\mathrm{PQ}=\frac{3}{2-\sin \alpha }+\frac{3}{2+\sin \alpha }=\frac{12}{4-{\sin }^2\alpha }$$

和を計算する

$c={\cos }^2\alpha$, $s={\sin }^2\alpha$ とおくと $c+s=1$ である。
$$\frac{1}{4-c}+\frac{1}{4-s}=\frac{8-(c+s)}{16-4(c+s)+cs}=\frac{7}{12+cs}$$
ここで $cs={\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =\frac{{\sin }^{2}2\alpha }{4}$ であるから
$$\mathrm{AB}+\mathrm{PQ}=\frac{84}{12+\frac{{\sin }^{2}2\alpha }{4}}=\frac{336}{48+{\sin }^{2}2\alpha }$$

最小値

$0\leqq {\sin }^{2}2\alpha \leqq 1$ であり、分母が最大のとき和は最小になる。${\sin }^{2}2\alpha =1$（例えば $\alpha =\frac{\pi }{4}$）のとき
$$\mathrm{AB}+\mathrm{PQ}=\frac{336}{49}=\frac{48}{7}$$

よって最小値は $\frac{48}{7}$ である。

$r=\frac{3/2}{1+\frac{1}{2}\cos \theta }$ なので、$C$ は原点 O を焦点にもつ楕円（離心率 $\frac{1}{2}$）であり、O は $C$ の内部にある。

O を通り偏角 $\theta$ の直線は $C$ と $(r(\theta ),\theta )$ と $(r(\theta +\pi ),\theta +\pi )$ で交わる。したがって
$$\mathrm{AB}=\frac{3}{2+\cos \theta }+\frac{3}{2-\cos \theta }=\frac{12}{4-{\cos }^2\theta }.$$

垂直な直線は偏角が $\theta +\frac{\pi }{2}$ なので
$$\mathrm{PQ}=\frac{12}{4-{\sin }^2\theta }.$$

$c={\cos }^2\theta ,s={\sin }^2\theta$ とおくと $c+s=1$ である。
$$\mathrm{AB}+\mathrm{PQ}=12\cdot \frac{(4-s)+(4-c)}{(4-c)(4-s)}=12\cdot \frac{7}{16-4(c+s)+cs}=\frac{84}{12+cs}.$$

ここで $cs={\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\theta$ であり、$0\le cs\le \frac{1}{4}$ である。

$cs$ が最大の $\frac{1}{4}$（${\sin }^{2}2\theta =1$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{4}$ など）のとき、和は最小となる。
$$\frac{84}{12+\frac{1}{4}}=\frac{84\cdot 4}{49}=\frac{48}{7}.$$

検算：$\theta =\frac{\pi }{4}$ では ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}$ より $\mathrm{AB}=\frac{12}{3.5}=\frac{24}{7}$。$\mathrm{PQ}$ も同じ値なので、和は $\frac{48}{7}$ となり一致する。なお $cs=0$ のときは和が $7$ で、$\frac{48}{7}$ より大きい。

最小値は $\frac{48}{7}$。