平面上の曲線の問題

直線と $C$ の交点

すべての $\theta$ について $3+2\cos \theta \geqq 1>0$ なので、$r=\frac{8}{3+2\cos \theta }$ は常に正の値をとる。したがって、極 $\mathrm{O}$ から出る半直線は、どの向きについても $C$ とちょうど 1 点で交わる。

${\ell }_1$ の向きを表す角を $\alpha$ とすると、${\ell }_1$ は $\mathrm{O}$ から角 $\alpha$ の向きと角 $\alpha +\pi$ の向きに出る 2 本の半直線からなる。よって ${\ell }_1$ と $C$ の交点は、偏角 $\alpha$ と $\alpha +\pi$ の 2 点で、$\mathrm{O}$ はその 2 点の間にある。$\cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha$ より
$$\mathrm{PQ}=\frac{8}{3+2\cos \alpha }+\frac{8}{3-2\cos \alpha }=\frac{8\{(3-2\cos \alpha )+(3+2\cos \alpha )\}}{9-4{\cos }^2\alpha }=\frac{48}{9-4{\cos }^2\alpha }$$
${\ell }_2$ の向きは $\alpha +\frac{\pi }{2}$ で、$\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \alpha$ なので、同様に
$$\mathrm{RS}=\frac{48}{9-4{\sin }^2\alpha }$$

和を 1 つの式にまとめる

$c={\cos }^2\alpha$, $s={\sin }^2\alpha$ とおくと $c+s=1$ で
$$\mathrm{PQ}+\mathrm{RS}=48\cdot \frac{(9-4s)+(9-4c)}{(9-4c)(9-4s)}=48\cdot \frac{18-4(c+s)}{81-36(c+s)+16cs}=\frac{48\cdot 14}{45+16cs}=\frac{672}{45+16cs}$$

最小値

$cs={\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\alpha$ なので $0\leqq cs\leqq \frac{1}{4}$。分母 $45+16cs$ が最大のとき和は最小となり、$cs=\frac{1}{4}$（たとえば $\alpha =\frac{\pi }{4}$）のとき分母は $45+4=49$。よって
$$\mathrm{PQ}+\mathrm{RS}\geqq \frac{672}{49}=\frac{96}{7}$$
で、等号は $\alpha =\frac{\pi }{4}$ のときに成り立つ。

以上より、$\mathrm{PQ}+\mathrm{RS}$ の最小値は $\frac{96}{7}$ である。

$r=\frac{8}{3+2\cos \theta }$ は原点 O を焦点とする曲線で、O を通る直線と $C$ の 2 交点は O の両側にあるので、${\ell }_1$ の方向を $\theta$ とすると $\mathrm{PQ}=r(\theta )+r(\theta +\pi )$ である。\n\n$\mathrm{PQ}=\frac{8}{3+2\cos \theta }+\frac{8}{3-2\cos \theta }=\frac{48}{9-4{\cos }^2\theta }$。\n\n${\ell }_2$ の方向は $\theta +\frac{\pi }{2}$ としてよいので、$\mathrm{RS}=\frac{48}{9-4{\sin }^2\theta }$。\n\nよって\n$$\mathrm{PQ}+\mathrm{RS}=48\cdot \frac{18-4({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )}{(9-4{\cos }^2\theta )(9-4{\sin }^2\theta )}=\frac{672}{(9-4{\cos }^2\theta )(9-4{\sin }^2\theta )}.$$\n\n分母は $81-36({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )+16{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta =45+16{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta =45+4{\sin }^{2}2\theta$。\n\n$0\leqq {\sin }^{2}2\theta \leqq 1$ より分母は $45$ 以上 $49$ 以下。分母が最大の $49$（${\sin }^{2}2\theta =1$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{4}$ など）のとき $\mathrm{PQ}+\mathrm{RS}$ は最小で、最小値は $\frac{672}{49}=\frac{96}{7}$。\n\n検算: $\theta =\frac{\pi }{4}$ のとき ${\cos }^2\theta ={\sin }^2\theta =\frac{1}{2}$、$\mathrm{PQ}=\mathrm{RS}=\frac{48}{7}$、和は $\frac{96}{7}$。$\theta =0$ のとき $\mathrm{PQ}=\frac{48}{5}$、$\mathrm{RS}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}$、和は $\frac{144+80}{15}=\frac{224}{15}\approx 14.93>\frac{96}{7}\approx 13.71$ で矛盾しない。