離心率と準線

定点 F と定直線 $ℓ$ からの距離の比 $P F : P H = e$ が一定な点の軌跡を求め、 $e$ の値で楕円・放物線・双曲線を判定でき、楕円・双曲線の離心率と準線を求められる

前提

放物線の方程式と焦点・準線（数学C 平面上の曲線）
双曲線の方程式と焦点・漸近線（数学C 平面上の曲線）

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算数中学高校大学大学院

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放物線の方程式と焦点・準線（数学C 平面上の曲線）
楕円の方程式と焦点（数学C 平面上の曲線）
双曲線の方程式と焦点・漸近線（数学C 平面上の曲線）

説明

平面上に定点 F（焦点）と、F を通らない定直線 $ℓ$ （準線）をとります。点 P から $ℓ$ に下ろした垂線の足を H とし、 $P F : P H = e : 1$ （ $e$ は正の定数）を満たす点 P の軌跡を求めます。この $e$ を離心率といい、 $0 < e < 1$ なら楕円、 $e = 1$ なら放物線、 $e > 1$ なら双曲線になります。逆に、楕円や双曲線の方程式から離心率と準線を求めることもできるようになります。

なぜそうしてよいのか

F $(f, 0)$ 、 $ℓ$ ： $x = d$ （F は $ℓ$ 上にないので $f \neq = d$ ）とします。条件 $P F = e \cdot P H$ を座標で書くと $(x - f)^{2} + y^{2} = e ∣ x - d ∣$ です。両辺は 0 以上なので、2 乗した式 $(x - f)^{2} + y^{2} = e^{2} (x - d)^{2}$ と同値です。展開して整理すると $(1 - e^{2}) x^{2} - 2 (f - e^{2} d) x + y^{2} + f^{2} - e^{2} d^{2} = 0$ です。
$e = 1$ のときは $x^{2}$ が消えて $y^{2} = 2 (f - d) (x - \frac{f + d}{2})$ となり、 $f - d \neq = 0$ なので放物線です（焦点と準線から等距離という放物線の定義そのものです）。 $e \neq = 1$ のときは $m = \frac{f - e ^{2} d}{1 - e ^{2}}$ とおいて平方完成すると
$(1 - e^{2}) (x - m)^{2} + y^{2} = K, K = \frac{( f - e ^{2} d ) ^{2}}{1 - e ^{2}} - (f^{2} - e^{2} d^{2}) = \frac{e ^{2} ( f - d ) ^{2}}{1 - e ^{2}}$
となります（分子を展開すると $e^{2} f^{2} - 2 e^{2} f d + e^{2} d^{2} = e^{2} (f - d)^{2}$ ）。 $f \neq = d$ より $e^{2} (f - d)^{2} > 0$ です。 $0 < e < 1$ なら $K > 0$ なので、両辺を $K$ で割って $\frac{( x - m ) ^{2}}{K / ( 1 - e ^{2} )} + \frac{y ^{2}}{K} = 1$ （分母はともに正）となり楕円です。 $e > 1$ なら $K < 0$ なので、 $- K = \frac{e ^{2} ( f - d ) ^{2}}{e ^{2} - 1} > 0$ で割って $\frac{( x - m ) ^{2}}{- K / ( e ^{2} - 1 )} - \frac{y ^{2}}{- K} = 1$ となり双曲線です。どの場合も 1 点や 2 直線につぶれることはありません。

逆向きも確かめます。楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）の焦点は F $(c, 0)$ 、 $c = a^{2} - b^{2}$ です。楕円上の点 P $(x, y)$ について $y^{2} = b^{2} - \frac{b ^{2}}{a ^{2}} x^{2}$ を代入し $a^{2} - b^{2} = c^{2}$ を使うと、 $P F^{2} = (x - c)^{2} + y^{2} = \frac{c ^{2}}{a ^{2}} x^{2} - 2 c x + a^{2} = (a - \frac{c}{a} x)^{2}$ です。 $∣ x ∣ \leq a$ 、 $0 < c < a$ より $a - \frac{c}{a} x > 0$ なので $P F = \frac{c}{a} (\frac{a ^{2}}{c} - x)$ となり、 $\frac{a ^{2}}{c} - x$ は P から直線 $x = \frac{a ^{2}}{c}$ までの距離です。よって離心率 $e = \frac{c}{a} (< 1)$ 、焦点 $(c, 0)$ に対応する準線は $x = \frac{a ^{2}}{c}$ です。
双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $c = a^{2} + b^{2}$ ）では $y^{2} = \frac{b ^{2}}{a ^{2}} x^{2} - b^{2}$ を代入して
$P F^{2} = x^{2} - 2 c x + c^{2} + \frac{b ^{2}}{a ^{2}} x^{2} - b^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{a ^{2}} x^{2} - 2 c x + (c^{2} - b^{2}) = \frac{c ^{2}}{a ^{2}} x^{2} - 2 c x + a^{2} = (\frac{c}{a} x - a)^{2}$
となるので $P F = \frac{c}{a} x - a = \frac{c}{a} x - \frac{a ^{2}}{c}$ です。離心率 $e = \frac{c}{a} (> 1)$ 、準線は $x = \frac{a ^{2}}{c}$ です。どちらの曲線でも、左の焦点 $(- c, 0)$ には準線 $x = - \frac{a ^{2}}{c}$ が対応します（左右対称なので）。

手順

軌跡を求めるとき：P $(x, y)$ とおき、条件 $P F = e \cdot P H$ を座標で書く。 $ℓ$ が $x = d$ なら $P H = ∣ x - d ∣$ で、 $(x - f)^{2} + (y - g)^{2} = e ∣ x - d ∣$ 。
両辺は 0 以上なので 2 乗し（同値変形）、展開して 1 辺に集める。右辺は $e^{2} (x - d)^{2}$ になることに注意。
$x$ について平方完成し、 $(1 - e^{2}) (x - m)^{2} + (y - g)^{2} = K$ の形にしてから右辺で割って標準形にする。 $0 < e < 1$ なら楕円、 $e = 1$ なら $x^{2}$ が消えて放物線、 $e > 1$ なら双曲線。
楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）の場合： $c = a^{2} - b^{2}$ とし、離心率 $e = \frac{c}{a}$ 、準線 $x = \pm \frac{a ^{2}}{c}$ （焦点 $(\pm c, 0)$ と複号同順で対応）。
双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の場合： $c = a^{2} + b^{2}$ とし、離心率 $e = \frac{c}{a}$ 、準線 $x = \pm \frac{a ^{2}}{c}$ （焦点 $(\pm c, 0)$ と複号同順で対応）。
焦点が $y$ 軸上の場合：楕円 $\frac{x ^{2}}{b ^{2}} + \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）は $c = a^{2} - b^{2}$ 、双曲線 $\frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1$ は $c = a^{2} + b^{2}$ とする。どちらも $a^{2}$ は $y^{2}$ の下の数で、焦点 $(0, \pm c)$ 、 $e = \frac{c}{a}$ 、準線 $y = \pm \frac{a ^{2}}{c}$ 。

例題

点 F $(2, 0)$ と直線 $ℓ$ ： $x = - 1$ がある。点 P から $ℓ$ に下ろした垂線の足を H とするとき、 $P F : P H = 1 : 2$ を満たす点 P の軌跡は楕円 $\frac{( x - p ) ^{2}}{A} + \frac{y ^{2}}{B} = 1$ になる。 $p$ , $A$ , $B$ の値を順に求めよ。

例題の解答

手順 1：P $(x, y)$ とおく。 $P F : P H = 1 : 2$ より $P F = \frac{1}{2} P H$ で、離心率は $e = \frac{1}{2}$ である。 $P H = ∣ x - (- 1) ∣ = ∣ x + 1∣$ なので、条件は $(x - 2)^{2} + y^{2} = \frac{1}{2} ∣ x + 1∣$ 。
手順 2：両辺は 0 以上なので 2 乗して $(x - 2)^{2} + y^{2} = \frac{1}{4} (x + 1)^{2}$ 。4 倍して展開すると $4 x^{2} - 16 x + 16 + 4 y^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ 、整理して $3 x^{2} - 18 x + 4 y^{2} + 15 = 0$ 。
手順 3： $x$ について平方完成すると $3 (x - 3)^{2} - 27 + 4 y^{2} + 15 = 0$ 、すなわち $3 (x - 3)^{2} + 4 y^{2} = 12$ 。両辺を 12 で割って $\frac{( x - 3 ) ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 。 $e = \frac{1}{2} < 1$ なので楕円であり、判定とも合う。
（確認：手順 4）中心 $(3, 0)$ からみると $a = 2$ 、 $b = 3$ 、 $c = 4 - 3 = 1$ で、焦点は $(3 \pm 1, 0)$ なので F $(2, 0)$ を含む。 $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$ 、左の焦点 $(2, 0)$ に対応する準線は $x = 3 - \frac{a ^{2}}{c} = 3 - 4 = - 1$ で、問題の条件と一致する。
よって $p = 3$ 、 $A = 4$ 、 $B = 3$ 。

答え: $(3, 4, 3)$

よくある誤り

2 乗するとき $e$ を 2 乗し忘れて $(x - f)^{2} + y^{2} = e (x - d)^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $(x - f)^{2} + y^{2} = e^{2} (x - d)^{2}$ 。例題なら右辺は $\frac{1}{4} (x + 1)^{2}$ で、 $\frac{1}{2} (x + 1)^{2}$ ではない。
楕円でも $c = a^{2} + b^{2}$ としてしまう誤り。正しくは、楕円では $c = a^{2} - b^{2}$ 、双曲線では $c = a^{2} + b^{2}$ 。例えば $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ では $c = 4$ なので $e = \frac{4}{5}$ 。
準線を $x = \pm c$ や $x = \pm a$ としてしまう誤り。正しくは $x = \pm \frac{a ^{2}}{c}$ 。 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ の準線は $x = \pm \frac{25}{4}$ 。
焦点が $y$ 軸上にある曲線で、 $x^{2}$ の下の数を $a^{2}$ として計算してしまう誤り。正しくは $y^{2}$ の下の数を $a^{2}$ とする。 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{25} = 1$ なら $a = 5$ 、 $c = 4$ 、 $e = \frac{4}{5}$ 、準線 $y = \pm \frac{25}{4}$ 。 $\frac{y ^{2}}{16} - \frac{x ^{2}}{9} = 1$ なら $a = 4$ 、 $c = 5$ 、 $e = \frac{5}{4}$ 、準線 $y = \pm \frac{16}{5}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能の次に学べること

2 次曲線の極方程式（数学C 平面上の曲線）