平面上の曲線の問題

点 $\mathrm{P}$ の座標を $(x,y)$ とおき、条件 $\mathrm{PF}:\mathrm{PH}=1:2$ を式にする。

手順1：距離を座標で表す。
2点間の距離の公式より
$$\mathrm{PF}=\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}$$
$\mathrm{H}$ は直線 $x=8$ 上の点で $\mathrm{H}(8,y)$ だから
$$\mathrm{PH}=|x-8|$$

手順2：比の条件を式にする。
$\mathrm{PF}:\mathrm{PH}=1:2$ より $2\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$ である。両辺とも $0$ 以上なので、両辺を 2 乗した式と同値である。
$$4\{(x-2{)}^2+y^2\}=(x-8{)}^2$$

手順3：整理する。
$$4x^2-16x+16+4y^2=x^2-16x+64$$
$$3x^2+4y^2=48$$
両辺を $48$ で割ると
$$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$$

よって $a^2=16,b^2=12$ で、$a>0,b>0$ より $a=4,b=2\sqrt{3}$。

（確認）この楕円の焦点は $(\pm \sqrt{16-12},0)=(\pm 2,0)$ で、$\mathrm{F}(2,0)$ はその一つである。また比 $e=\frac{1}{2}$ は $0<e<1$ なので楕円になることと合っており、離心率 $e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$、準線 $x=\frac{a}{e}=8$ も問題の条件と一致する。

答え：$(a,b)=(4,2\sqrt{3})$

$\mathrm{P}(x,y)$ とおくと、$\mathrm{PF}=\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}$、$\mathrm{PH}=|x-8|$。条件 $\mathrm{PF}:\mathrm{PH}=1:2$ より $2\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$。両辺を2乗して $4\{(x-2{)}^2+y^2\}=(x-8{)}^2$。
展開すると $4x^2-16x+16+4y^2=x^2-16x+64$ より $3x^2+4y^2=48$。
両辺を48で割ると $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$。
よって $a^2=16,b^2=12$ で、$a>0,b>0$ より $a=4,b=2\sqrt{3}$。
検算：焦点 $(2,0)$ について $c^2=16-12=4$ より $c=2$ で一致する。準線 $x=a^2/c=8$、離心率 $c/a=1/2$ で一致する。点 $(4,0)$ で確認すると、PF=2、PH=4 で比は 1:2 となり条件を満たす。