平面上の曲線の問題

手順 1：点 A が楕円上にあることを確かめる。

$$\frac{2^2}{8}+\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

よって、点 $\mathrm{A}(2,1)$ は楕円 $C$ 上にある。

手順 2：接線の公式に代入する。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式は
$$\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$$
である。これは、もとの式の $x^2$ を $x_{1}x$ に、$y^2$ を $y_{1}y$ に置きかえた形になっている。

いまは $a^2=8$, $b^2=2$, $(x_1,y_1)=(2,1)$ なので、接線の方程式は
$$\frac{2x}{8}+\frac{1\cdot y}{2}=1$$
すなわち
$$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$$

手順 3：$y=mx+n$ の形に直す。

両辺に $4$ を掛けると
$$x+2y=4$$
よって
$$2y=-x+4\text{より}y=-\frac{1}{2}x+2$$

したがって $m=-\frac{1}{2}$, $n=2$ であり、
$$(m,n)=\left(-\frac{1}{2},2\right)$$

（確認）$y=-\frac{1}{2}x+2$ を $x^2+4y^2=8$ に代入すると $x^2+4{\left(-\frac{1}{2}x+2\right)}^2=8$ より $2x^2-8x+8=0$、すなわち $2(x-2{)}^2=0$ となり、$x=2$ の重解をもつ。よって、この直線は点 $\mathrm{A}$ で $C$ に接している。

楕円 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線は $\frac{x_{1}x}{8}+\frac{y_{1}y}{2}=1$ である。
$(x_1,y_1)=(2,1)$ を代入すると $\frac{2x}{8}+\frac{y}{2}=1$、すなわち $\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$ となる。
両辺に 4 をかけて $x+2y=4$ より $y=-\frac{1}{2}x+2$。
検算：点 A は $\frac{4}{8}+\frac{1}{2}=1$ で C 上にある。また $y=mx+n$ を楕円に代入すると $x^2+4(mx+n{)}^2=8$、つまり $x^2+4(-\frac{1}{2}x+2{)}^2=8$ となる。これを展開すると $x^2+4(\frac{1}{4}{x}^2-2x+4)=2x^2-8x+16=8$、すなわち $2x^2-8x+8=0$、$2(x-2{)}^2=0$。重解 $x=2$ となるので接している。
よって $(m,n)=(-\frac{1}{2},2)$。