2 次曲線と直線の共有点

2 次曲線と直線の方程式から 1 文字を消去した 2 次方程式の判別式を使って、共有点の個数や共有点をもつ条件を求め、共有点の座標を求められる

前提

放物線の方程式と焦点・準線（数学C 平面上の曲線）
双曲線の方程式と焦点・漸近線（数学C 平面上の曲線）
2 次不等式（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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放物線の方程式と焦点・準線（数学C 平面上の曲線）
楕円の方程式と焦点（数学C 平面上の曲線）
双曲線の方程式と焦点・漸近線（数学C 平面上の曲線）
2 次不等式（数学I 2次関数）

説明

楕円・双曲線・放物線（2 次曲線）と直線が何個の点で交わるか、交わるための条件は何か、交点の座標はどこかを、計算だけで調べる方法です。図を正確にかけなくても、直線の式を曲線の式に代入して 1 文字を消去し、できた方程式の実数解を調べれば答えが出ます。「直線が曲線に接するときの定数の値」「共有点をもつような定数の範囲」を求める問題でよく使います。

なぜそうしてよいのか

曲線と直線の共有点とは、曲線の方程式と直線の方程式を同時に満たす点 $(x, y)$ のことです。直線が $y = m x + n$ と書けるなら、共有点の $y$ 座標は必ず $m x + n$ です。そこで、これを曲線の方程式に代入すると $x$ だけの方程式になります。この方程式の実数解 $x$ が 1 つ決まるごとに、直線上の点 $(x, m x + n)$ がちょうど 1 つ決まります。つまり「代入してできた方程式の異なる実数解の個数」＝「共有点の個数」です。なお、 $x = k$ の形の直線（ $y$ 軸に平行な直線）は $y = m x + n$ の形に書けないので、別に扱います。この場合は $x = k$ を曲線の方程式に代入して $y$ だけの方程式を作ります。実数解 $y$ が 1 つ決まるごとに点 $(k, y)$ が 1 つ決まるので、 $x$ と $y$ の役割を入れかえて同じように考えればよいのです。

2 次曲線の方程式は $x, y$ の 2 次式なので、代入すると多くの場合 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq = 0)$ という 2 次方程式になります。2 次方程式の異なる実数解の個数は判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ の符号で決まります（ $D > 0$ なら 2 個、 $D = 0$ なら 1 個（重解）、 $D < 0$ なら 0 個）。したがって、共有点の個数も $D$ で決まります。2 次方程式が重解をもち $D = 0$ となるとき、直線は曲線に接するといい、その共有点を接点といいます。

ただし、代入後の 2 次の項の係数 $a$ が 0 になることがあります（放物線の軸に平行な直線、双曲線の漸近線に平行な直線など）。このときは 1 次方程式なので判別式は使えず、共有点は 1 個か 0 個になります。この場合に共有点が 1 個でも、直線は曲線を横切っていて接してはいません。

手順

直線の式を $y = m x + n$ の形にして曲線の方程式に代入し、 $y$ を消去する。直線が $x = k$ の形のときは $x = k$ を代入して $x$ を消去し、以下の手順 2〜5 を $y$ の方程式として同じように行う
分母を払って整理し、 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $x = k$ の場合は $a y^{2} + b y + c = 0$ ）の形にする
2 次の項の係数 $a$ が 0 にならないか確かめる。 $a = 0$ となる場合は 1 次方程式として別に調べる
$a \neq = 0$ なら判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ を計算する（ $b = 2 b^{'}$ のときは $\frac{D}{4} = b^{'2} - a c$ でもよい）。 $D > 0$ なら共有点 2 個、 $D = 0$ なら 1 個（接する）、 $D < 0$ なら 0 個と判定する。「共有点をもつ」条件は $D \geq 0$
定数の条件を求めるときは、 $D$ についての不等式や方程式を解く
共有点の座標を求めるときは、2 次方程式を解く。 $x$ を求めた場合は直線の式 $y = m x + n$ に代入して $y$ を求める。 $x = k$ の場合は $y$ を求め、点 $(k, y)$ とする

例題

楕円 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ と直線 $y = x + k$ が共有点をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

【手順 1】直線は $y = x + k$ の形なので、これを楕円の方程式に代入して $y$ を消去すると $\frac{x ^{2}}{4} + (x + k)^{2} = 1$ となる。
【手順 2】両辺に 4 を掛けると $x^{2} + 4 (x^{2} + 2 k x + k^{2}) = 4$ となる。整理すると $5 x^{2} + 8 k x + 4 k^{2} - 4 = 0$ である。
【手順 3】 $x^{2}$ の係数は $5 \neq = 0$ なので、 $k$ によらず 2 次方程式である。
【手順 4】 $8 k = 2 \cdot 4 k$ なので $\frac{D}{4} = (4 k)^{2} - 5 (4 k^{2} - 4) = 16 k^{2} - 20 k^{2} + 20 = 20 - 4 k^{2}$ である。共有点をもつ条件は $D \geq 0$ 、すなわち $20 - 4 k^{2} \geq 0$ である。
【手順 5】これを整理すると $k^{2} \leq 5$ 、すなわち $(k + 5) (k - 5) \leq 0$ となる。よって $- 5 \leq k \leq 5$ である。
（なお $k = \pm 5$ のとき $D = 0$ となり、直線は楕円に接する。）
答え： $- 5 \leq k \leq 5$

答え: $- 5 \leq k \leq 5$

よくある誤り

「共有点をもつ」条件を $D > 0$ としてしまう誤り。正しくは $D \geq 0$ 。接する場合（ $D = 0$ ）も共有点を 1 個もつからである。上の例題なら、答えは $- 5 < k < 5$ ではなく $- 5 \leq k \leq 5$ となる。
2 次の項の係数が 0 になる場合を確かめずに判別式を使ってしまう誤り。たとえば双曲線 $x^{2} - y^{2} = 1$ と直線 $y = x + k$ では、代入すると $x^{2} - (x + k)^{2} = 1$ より $- 2 k x - k^{2} - 1 = 0$ となり、1 次方程式になる。正しくは場合を分けて別に調べる。 $k \neq = 0$ のときは $x = - \frac{k ^{2} + 1}{2 k}$ となり、共有点は 1 個である。 $k = 0$ のときは $- 1 = 0$ となり、共有点はない。
共有点が 1 個なら必ず接すると考えてしまう誤り。正しくは、接するのは代入後の方程式が 2 次方程式で $D = 0$ （重解）となるときである。たとえば放物線 $y^{2} = 4 x$ と直線 $y = 2$ の共有点は $(1, 2)$ の 1 個だけである。しかし $y = 2$ を代入すると $4 = 4 x$ という 1 次方程式になり、直線は放物線を横切っている。
共有点の残りの座標を曲線の方程式から求めてしまう誤り。たとえば $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ に $x$ の値を代入すると $y$ が $\pm$ の 2 つ出てしまい、直線上にない点まで答えに含まれる。正しくは、求めた $x$ を直線の式 $y = x + k$ に代入して $y$ を 1 つに決める（直線が $x = k$ なら、求めた $y$ と $x = k$ を組にする）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

弦の中点・長さと解と係数の関係（数学C 平面上の曲線）
2 次曲線の接線（数学C 平面上の曲線）