平面上の曲線の問題

1. 共有点がただ 1 つになる条件

$y=mx+n$ を $\frac{x^2}{2}-y^2=1$ に代入して整理すると
$$(1-2m^2)x^2-4mnx-2(n^2+1)=0$$
$m$ は正の整数なので $1-2m^2\ne 0$ であり、これは $x$ の 2 次方程式である。$x$ の値 1 つに対して共有点は 1 つ決まるので、共有点がただ 1 つになる条件は判別式が $0$ になることである。
$$\frac{D}{4}=4m^2{n}^2+2(1-2m^2)(n^2+1)=2(n^2+1-2m^2)$$
よって条件は
$$n^2-2m^2=-1\cdots (1)$$
である。$n$ が解なら $-n$ も解であり、$n=0$ は $(1)$ を満たさないので、$n>0$ の解 $(n,m)$ を求めて $2$ 倍すればよい。

2. 正の整数解の構成（鍵となる変換）

$(n,m)$ が $(1)$ の解のとき、
$$n^{\prime }=3n-4m,m^{\prime }=3m-2n$$
とおくと
$$n^{\prime 2}-2m^{\prime 2}=(9n^2-24mn+16m^2)-2(9m^2-12mn+4n^2)=n^2-2m^2=-1$$
となり、$(n^{\prime },m^{\prime })$ も $(1)$ の解である。逆に $n=3n^{\prime }+4m^{\prime },m=2n^{\prime }+3m^{\prime }$ である。

$n,m$ が正の整数で $m\geqq 2$ の解とする。$m=2$ のとき $n^2=7$ で不適なので $m\geqq 3$。このとき
- $m^{\prime }<m⟺m<n⟺m^2<2m^2-1⟺m>1$：成り立つ
- $m^{\prime }>0⟺9m^2>4n^2=8m^2-4$：成り立つ
- $n^{\prime }>0⟺9n^2>16m^2⟺18m^2-9>16m^2⟺m^2>\frac{9}{2}$：$m\geqq 3$ より成り立つ

よって $(n^{\prime },m^{\prime })$ は $m$ がより小さい正の整数解である。この操作をくり返すと $m$ は正の整数のまま真に減り続けるので、いつか $m=1$ に到達する。$m=1$ のとき $n^2=1$ より $n=1$。

したがって、正の整数解はすべて $(1,1)$ から逆の変換
$$(n,m)⟼(3n+4m,2n+3m)$$
をくり返して得られ、逆にこうして得られるものはすべて解である（変換で $(1)$ が保たれるため）。$m$ は増え続けるので、得られる解はすべて異なる。

3. 列挙

$$(1,1)\to (7,5)\to (41,29)\to (239,169)\to (1393,985)\to (8119,5741)\to \cdots$$
$1\leqq m\leqq 1000$ を満たすのは $m=1,5,29,169,985$ の $5$ 個で、それぞれ $n=\pm 1,\pm 7,\pm 41,\pm 239,\pm 1393$ の $2$ 通りずつ。

よって求める個数は $5\times 2=10$。

$y=mx+n$ を $\frac{x^2}{2}-y^2=1$ に代入して $x^2-2(mx+n{)}^2=2$、すなわち $(1-2m^2)x^2-4mnx-2(n^2+1)=0$。
$m$ は整数で $m\geqq 1$ なので $1-2m^2\ne 0$（$m^2=\frac{1}{2}$ は整数解なし）。よって上は 2 次方程式で、直線の傾き $m$ は漸近線の傾き $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ に等しくならない。ただ 1 つの共有点をもつ条件は重解をもつことで、判別式 $\frac{D}{4}=4m^2{n}^2+2(1-2m^2)(n^2+1)=2n^2+2-4m^2=0$。
よって $n^2=2m^2-1$、すなわち $n^2-2m^2=-1$（ペル方程式）。
基本解は $(n,m)=(1,1)$ で、$n+m\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}{)}^k$ から解が得られる。
$m$ を小さい順に調べると $(n,m)=(1,1),(7,5),(41,29),(239,169),(1393,985),(8119,5741),\dots$。漸化式は $n^{\prime }=3n+4m,m^{\prime }=2n+3m$。
$1\leqq m\leqq 1000$ を満たすのは $m=1,5,29,169,985$ の 5 個。
それぞれ $n=\pm 1,\pm 7,\pm 41,\pm 239,\pm 1393$ の 2 通りずつ（$n\ne 0$）なので、組 $(m,n)$ は $5\times 2=10$ 個。
検算: $m=5$ のとき $2\cdot 25-1=49=7^2$、$m=985$ のとき $2\cdot 985^2-1=1940449-1\cdot$（$985^2=970225$、$2\cdot 970225-1=1940449=1393^2$）で成立する。