平面上の曲線の問題

直線 $\ell$ の方程式は $y=m(x-2)+2$ である。$k=2-2m$ とおくと $y=mx+k$ と書ける。

これを双曲線の方程式 $x^2-4y^2=4$ に代入すると
$$x^2-4(mx+k{)}^2=4$$
$$(1-4m^2)x^2-8mkx-4(k^2+1)=0(1)$$

双曲線上の点は $x^2=4+4y^2\geqq 4$ を満たすので、$x>0$ であることと $x\geqq 2$ であること（右側の枝の上にあること）は同じである。また、$x$ 座標が決まれば直線上の点はただ 1 つに決まる。したがって、求める条件は「$(1)$ が異なる 2 つの正の実数解をもつこと」である。

(i) 2 次方程式であること
$1-4m^2\ne 0$ が必要である。$m=\pm \frac{1}{2}$ のとき、$\ell$ は漸近線に平行であり、$(1)$ は 1 次以下の方程式になるので共有点は 1 個以下となり、条件を満たさない。

(ii) 判別式
$(1)$ の判別式を $D$ とすると
$$\frac{D}{4}=16m^2{k}^2+4(1-4m^2)(k^2+1)=4\{4m^2{k}^2+k^2+1-4m^2{k}^2-4m^2\}=4(k^2+1-4m^2)$$
ここで $k^2=(2-2m{)}^2=4-8m+4m^2$ より
$$k^2+1-4m^2=5-8m$$
よって $D>0⟺m<\frac{5}{8}$。

(iii) 2 解の積が正
解と係数の関係より、2 解の積は $\frac{-4(k^2+1)}{1-4m^2}$。$k^2+1>0$ なので、これが正となる条件は $1-4m^2<0$、すなわち
$$m<-\frac{1}{2}\text{または}m>\frac{1}{2}$$

(iv) 2 解の和が正
2 解の和は $\frac{8mk}{1-4m^2}$。(iii) より $1-4m^2<0$ なので、これが正となる条件は $mk<0$、すなわち
$$m(2-2m)<0⟺m(m-1)>0⟺m<0\text{または}m>1$$

まとめ
(ii) $m<\frac{5}{8}$、(iii) $m<-\frac{1}{2}$ または $m>\frac{1}{2}$、(iv) $m<0$ または $m>1$ をすべて満たす $m$ を求める。
- $m<-\frac{1}{2}$ のときは 3 つの条件をすべて満たす。
- $\frac{1}{2}<m<\frac{5}{8}$ のときは (iv) を満たさない（このとき 2 つの交点はともに左側の枝の上にある）。

よって求める範囲は
$$m<-\frac{1}{2}$$

（確認：$m=-1$ のとき $(1)$ は $3x^2-32x+68=0$ となる。判別式は $1024-816=208>0$ で、2 解の和 $\frac{32}{3}$、積 $\frac{68}{3}$ はともに正なので、確かに右側の枝と 2 点で交わる。）

直線 $\ell$ は $y=m(x-2)+2=mx+c$（$c=2-2m$）と表せる。双曲線は $x^2-4y^2=4$ なので、代入して整理すると
$(1-4m^2)x^2-8mcx-4c^2-4=0$。
$x>0$ の部分と異なる2点で交わる条件は、この式が異なる2つの正の解をもつことである。したがって $1-4m^2\ne 0$ のもとで、次の3条件がすべて成り立つ必要がある。

(1) 積 $=\frac{-4(c^2+1)}{1-4m^2}>0$ より $1-4m^2<0$、すなわち $|m|>\frac{1}{2}$。

(2) 和 $=\frac{8mc}{1-4m^2}>0$。(1)より $1-4m^2<0$ なので $mc<0$。$mc=2m(1-m)<0$ より $m<0$ または $m>1$。

(3) 判別式 $D/4=16m^2{c}^2+(1-4m^2)(4c^2+4)=4(c^2+1-4m^2)>0$。$c=2-2m$ を代入すると $c^2+1-4m^2=4(1-m{)}^2+1-4m^2=5-8m$。よって $5-8m>0$ より $m<\frac{5}{8}$。

(1)〜(3)を合わせると $m<-\frac{1}{2}$。

検算：$m=-1$ のとき、直線は $y=-x+4$。これを代入すると $3x^2-32x+68=0$ となる。判別式は $1024-816=208>0$、和 $=\frac{32}{3}>0$、積 $=\frac{68}{3}>0$ で、条件を満たす。
一方 $\frac{1}{2}<m<\frac{5}{8}$ では和が負、積が正となり、2解とも負（左側の枝との交点）なので不適。