平面上の曲線の問題

方針：直線の式を楕円の式に代入して $y$ を消去し、$x$ の 2 次方程式をつくります。この 2 次方程式の実数解が共有点の $x$ 座標になるので、「共有点をもつ」は「実数解をもつ」、つまり判別式 $D\geqq 0$ と言いかえられます。

手順 1：$y$ を消去する

楕円の式の両辺に $12$ を掛けると
$$x^2+3y^2=12$$
ここに $y=x+k$ を代入すると
$$x^2+3(x+k{)}^2=12$$
展開すると $x^2+3x^2+6kx+3k^2=12$ より
$$4x^2+6kx+3k^2-12=0(1)$$

手順 2：判別式を計算する

$(1)$ の $x$ の係数は $6k=2\cdot 3k$ なので、判別式を $D$ として $\frac{D}{4}$ を使うと
$$\frac{D}{4}=(3k{)}^2-4(3k^2-12)=9k^2-12k^2+48=48-3k^2$$

手順 3：条件を不等式にして解く

楕円と直線が共有点をもつのは、$(1)$ が実数解をもつとき、すなわち $D\geqq 0$ のときである。よって
$$48-3k^2\geqq 0$$
$$k^2\leqq 16$$
$$-4\leqq k\leqq 4$$

（参考：$k=\pm 4$ のとき $D=0$ となり、直線は楕円に接します。$-4<k<4$ のときは異なる 2 点で交わります。）

答え：$-4\leqq k\leqq 4$

$y=x+k$ を $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$ に代入し、両辺に 12 を掛けると $x^2+3(x+k{)}^2=12$。
整理して $4x^2+6kx+3k^2-12=0$。
共有点をもつ条件は判別式 $D\ge 0$。
$D/4=(3k{)}^2-4(3k^2-12)=9k^2-12k^2+48=48-3k^2\ge 0$。
よって $k^2\le 16$、すなわち $-4\le k\le 4$。
検算：$k=4$ のとき $4x^2+24x+36=0$、すなわち $(x+3{)}^2=0$ で重解 $x=-3$、$y=1$。$9/12+1/4=1$ となり接する。$k=0$ のときは原点を通るので共有点をもつ。よって妥当。