平面上の曲線の問題

1. 交点の $x$ 座標が満たす 2 次方程式を作る

楕円の方程式の両辺に $8$ を掛けると $x^2+2y^2=8$ である。これに $y=x+1$ を代入すると
$$x^2+2(x+1{)}^2=8$$
$$3x^2+4x-6=0(1)$$
$(1)$ の判別式を $D$ とすると $D=4^2-4\cdot 3\cdot (-6)=88>0$ である。よって $(1)$ は異なる 2 つの実数解をもち、確かに 2 点で交わる。

2. 解と係数の関係を使う

$\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標を $\alpha$, $\beta$ とすると、これらは $(1)$ の 2 解である。解と係数の関係より
$$\alpha +\beta =-\frac{4}{3},\alpha \beta =-2$$

3. 弦の長さを $\alpha$, $\beta$ で表す

$\mathrm{P}(\alpha ,\alpha +1)$, $\mathrm{Q}(\beta ,\beta +1)$ であるから、$y$ 座標の差も $\beta -\alpha$ になる。2 点間の距離の公式より
$${\mathrm{PQ}}^2=(\beta -\alpha {)}^2+(\beta -\alpha {)}^2=2(\beta -\alpha {)}^2$$
ここで
$$(\beta -\alpha {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =\frac{16}{9}+8=\frac{88}{9}$$
であるから
$${\mathrm{PQ}}^2=2\cdot \frac{88}{9}=\frac{176}{9}$$

4. 長さを求める

$\mathrm{PQ}>0$ であり、$176=16\cdot 11$ であるから
$$\mathrm{PQ}=\frac{\sqrt{176}}{3}=\frac{4\sqrt{11}}{3}$$

交点の座標を直接求めなくても、解と係数の関係だけで弦の長さが求められる。

$y=x+1$ を $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ に代入し、両辺に 8 をかけると $x^2+2(x+1{)}^2=8$。展開して整理すると $3x^2+4x-6=0$。

判別式は $16+72=88>0$ なので、異なる 2 点で交わる。

2 解を $x_1,x_2$ とすると、$x_1+x_2=-\frac{4}{3}$, $x_1{x}_2=-2$。

$(x_1-x_2{)}^2=\frac{16}{9}+8=\frac{88}{9}$。

直線の傾きは 1 なので $\mathrm{PQ}=\sqrt{2}|x_1-x_2|=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{88}}{3}=\frac{\sqrt{176}}{3}=\frac{4\sqrt{11}}{3}$。

検算：$x=\frac{-4\pm \sqrt{88}}{6}=\frac{-2\pm \sqrt{22}}{3}$ なので $|x_1-x_2|=\frac{2\sqrt{22}}{3}$。$\sqrt{2}\cdot \frac{2\sqrt{22}}{3}=\frac{2\sqrt{44}}{3}=\frac{4\sqrt{11}}{3}$ となり、一致する。