弦の中点・長さと解と係数の関係

交点の $x$ 座標を 2 次方程式の 2 解 $α, β$ とみて、 $α + β$ , $α β$ から弦の中点・弦の長さ・ $O P \cdot O Q$ を求め、解の符号の条件と合わせて範囲を求められる

前提

2 次曲線と直線の共有点（数学C 平面上の曲線）
内積となす角（数学C ベクトル）

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算数中学高校大学大学院

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内積となす角（数学C ベクトル）

説明

2 次曲線と直線が 2 点 $P, Q$ で交わるとき、交点の座標を直接求めなくても、弦 $P Q$ の中点・長さ・内積 $O P \cdot O Q$ を計算できるようになります。交点の座標が根号を含む複雑な値になるときや、直線が文字を含んで動くときに特に役立ちます。判別式や解の符号の条件と組み合わせれば、これらの量がとりうる範囲も求められます。

なぜそうしてよいのか

直線 $y = m x + n$ を曲線の式に代入して $y$ を消去すると、 $x$ の 2 次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）が得られます。この方程式の 2 解 $α, β$ が交点 $P, Q$ の $x$ 座標なので、 $P (α, m α + n)$ , $Q (β, m β + n)$ と書けます。2 解をもつとき $a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)$ と因数分解できます。右辺を展開すると $a x^{2} - a (α + β) x + a α β$ なので、係数を比べて $α + β = - \frac{b}{a}$ , $α β = \frac{c}{a}$ が得られます。これを解と係数の関係といいます。 $α, β$ そのものがわからなくても、和と積は係数から直接読み取れます。

中点・長さ・内積は、どれも $α$ と $β$ を入れかえても値が変わらない式なので、和 $α + β$ と積 $α β$ だけで表せます。中点の $x$ 座標は $\frac{α + β}{2}$ で、中点は直線上にあるので $y$ 座標は $m \cdot \frac{α + β}{2} + n$ です。長さは 2 点間の距離の公式から $P Q = (β - α)^{2} + m^{2} (β - α)^{2} = 1 + m^{2} ∣ β - α ∣$ で、 $(β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β$ を使えば和と積で書けます。内積は成分で計算して $O P \cdot O Q = α β + (m α + n) (m β + n) = (1 + m^{2}) α β + mn (α + β) + n^{2}$ です。直線が $y$ 軸に平行な $x = k$ の形のときは $y = m x + n$ と書けないので、 $x = k$ を代入して $y$ の 2 次方程式を作ります。このとき 2 解 $α, β$ は $y$ 座標で、 $P (k, α)$ , $Q (k, β)$ となり、同じ考え方で計算できます。

範囲を求めるときは、まず「異なる 2 点で交わる」条件として判別式 $D > 0$ が必要です。さらに「2 解がともに正」のような条件が付くこともあります。異なる 2 つの実数解がともに正である条件は、 $D > 0$ , $α + β > 0$ , $α β > 0$ と同じです（積が正なら同符号で、そのうえ和が正なら両方とも正）。この形にすれば、条件を係数の式に直せます。

手順

直線が $y = m x + n$ の形なら、曲線の式に代入して $x$ の 2 次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ を作り、 $x^{2}$ の係数が $a \neq = 0$ であることを確認する（直線が $x = k$ の形なら手順 5 へ）
異なる 2 点で交わる条件として、判別式 $D = b^{2} - 4 a c > 0$ を確認する（文字を含むときはこの条件を書き出しておく）
2 解を $α, β$ とし、解と係数の関係 $α + β = - \frac{b}{a}$ , $α β = \frac{c}{a}$ を書く
求めたい量を和と積で表して代入する。中点は $(\frac{α + β}{2}, m \frac{α + β}{2} + n)$ 、長さは $1 + m^{2} (α + β)^{2} - 4 α β$ 、内積は $(1 + m^{2}) α β + mn (α + β) + n^{2}$
直線が $x = k$ の形のときは、 $x = k$ を代入して $y$ の 2 次方程式を作り（ $y^{2}$ の係数が $0$ でないことを確認）、手順 2・3 と同様に $D > 0$ と解と係数の関係を書く。2 解 $α, β$ は $y$ 座標で $P (k, α)$ , $Q (k, β)$ なので、中点は $(k, \frac{α + β}{2})$ 、長さは $∣ β - α ∣ = (α + β)^{2} - 4 α β$ 、内積は $k^{2} + α β$
範囲を問われたら、 $D > 0$ に加えて、必要なら解の符号の条件（ともに正なら $α + β > 0$ かつ $α β > 0$ ）を合わせて、文字の範囲を決める

例題

放物線 $y = x^{2}$ と直線 $y = 2 x + 1$ の 2 つの交点を $P, Q$ とする。弦 $P Q$ の長さを求めよ。

例題の解答

手順 1：直線は $y = m x + n$ の形（ $m = 2$ , $n = 1$ ）である。 $y = 2 x + 1$ を $y = x^{2}$ に代入すると $x^{2} = 2 x + 1$ 、つまり $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ である。 $x^{2}$ の係数は $1 \neq = 0$ である。
手順 2：判別式は $D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 8 > 0$ なので、異なる 2 点で交わる。
手順 3：2 解を $α, β$ とすると $α + β = 2$ , $α β = - 1$ である。
手順 4： $(β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = 4 + 4 = 8$ より $∣ β - α ∣ = 22$ である。傾きは $m = 2$ なので $P Q = 1 + 2^{2} \cdot 22 = 210$ となる。
（確認：解は $x = 1 \pm 2$ で、差は $22$ であり一致する。）
手順 5・6：直線は $x = k$ の形ではなく、範囲も問われていないので不要。
よって $P Q = 210$ 。

答え: $210$

よくある誤り

弦の長さを $∣ β - α ∣$ だけで終えてしまう誤り。 $y = m x + n$ のとき $∣ β - α ∣$ は $x$ 座標の差にすぎない。正しくは $y$ 座標の差 $m (β - α)$ も含めて $P Q = 1 + m^{2} ∣ β - α ∣$ （ $∣ β - α ∣$ だけでよいのは直線が $x = k$ の形で $α, β$ が $y$ 座標のとき）。
$(β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$ としてしまう誤り（それは $α^{2} + β^{2}$ の式）。正しくは $(β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β$ 。
放物線 $y = x^{2}$ との弦の中点の $y$ 座標を $(\frac{α + β}{2})^{2}$ としてしまう誤り。中点は放物線上にはない。正しくは中点は直線上にあるので $y = m \frac{α + β}{2} + n$ （または $\frac{α ^{2} + β ^{2}}{2}$ ）。
中点の軌跡や内積の範囲を求めるとき、判別式の条件 $D > 0$ を落としてしまう誤り。正しくは $α + β$ , $α β$ の式に加え、 $D > 0$ （必要なら $α + β > 0$ , $α β > 0$ などの符号の条件）で文字の範囲を制限する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

弦の中点・長さと解と係数の関係

前提

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なぜそうしてよいのか

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