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平面上の曲線の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学C 平面上の曲線

$m$ を実数の定数とする。直線 $ℓ : y = m x + 2$ と双曲線 $C : x^{2} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$ が、 $x$ 座標がともに正である異なる 2 点 $P$ , $Q$ で交わるとする。このとき、線分 $PQ$ の中点の $x$ 座標のとりうる値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

2 次曲線と直線の共有点（説明と入口の問題）
弦の中点・長さと解と係数の関係（説明と入口の問題）
積と商の微分（説明と入口の問題）
関数の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（54 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

直線の式を双曲線の式に代入して $x$ の方程式を作り、「 $x$ 座標がともに正である異なる 2 点」という条件を、その方程式の解の条件に言い換えましょう。

ヒント 2

$(4 - m^{2}) x^{2} - 4 m x - 8 = 0$ が異なる 2 つの正の解をもつ条件を、判別式・解の和・解の積で調べます。中点の $x$ 座標は解の和の半分です。

ヒント 3

条件は $- 22 < m < - 2$ となり、中点の $x$ 座標は $\frac{2 m}{4 - m ^{2}}$ です。この関数の増減を、 $m$ の範囲で調べましょう。

答えと解説

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(2, \infty)

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解説を読む

$y = m x + 2$ を $x^{2} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$ に代入して両辺を $4$ 倍すると
$4 x^{2} - (m^{2} x^{2} + 4 m x + 4) = 4$
となり、整理すると
$(4 - m^{2}) x^{2} - 4 m x - 8 = 0 (1)$
を得る。共有点の $x$ 座標は $(1)$ の実数解である。

条件の言い換え

$4 - m^{2} = 0$ のとき、 $(1)$ は 1 次方程式で、解は高々 1 個しかない。よって $4 - m^{2} \neq = 0$ が必要であり、このとき $(1)$ は 2 次方程式である。異なる 2 点で交わり、その $x$ 座標がともに正である条件は、 $(1)$ が異なる 2 つの正の実数解をもつことである。

- 判別式 $D$ について
$\frac{D}{4} = (- 2 m)^{2} - (4 - m^{2}) \cdot (- 8) = 4 m^{2} + 32 - 8 m^{2} = 32 - 4 m^{2} > 0$
より $m^{2} < 8$ 。
- 解と係数の関係より、2 解の積は $\frac{- 8}{4 - m ^{2}} > 0$ である必要がある。よって $4 - m^{2} < 0$ 、すなわち $m^{2} > 4$ 。
- 2 解の和は $\frac{4 m}{4 - m ^{2}} > 0$ である必要がある。 $4 - m^{2} < 0$ なので $m < 0$ 。

以上をまとめると $4 < m^{2} < 8$ かつ $m < 0$ であり、
$- 22 < m < - 2$
となる。

中点の $x$ 座標

中点の $x$ 座標を $X$ とすると、2 解の和の半分なので
$X = f (m) = \frac{2 m}{4 - m ^{2}}$
である。 $- 22 < m < - 2$ における $f (m)$ の値の範囲を調べる。

商の微分法により
$f^{'} (m) = \frac{2 ( 4 - m ^{2} ) - 2 m \cdot ( - 2 m )}{( 4 - m ^{2} ) ^{2}} = \frac{2 m ^{2} + 8}{( 4 - m ^{2} ) ^{2}} > 0$
となるので、 $f (m)$ はこの区間で単調に増加する。

$f (- 22) = \frac{- 4 2}{4 - 8} = 2$
$m \to - 2 - 0$ のとき、分子は $- 4$ に近づき、分母 $4 - m^{2}$ は負の値をとりながら $0$ に近づく。よって $f (m) \to \infty$ 。

$f (m)$ は連続で単調に増加し、区間の両端 $m = - 22$ , $m = - 2$ は含まれない。したがって $X$ のとりうる値の範囲は
$X > 2$
である。

(確認) $m = - \frac{5}{2}$ のとき、 $(1)$ は $9 x^{2} - 40 x + 32 = 0$ となる。 $\frac{D}{4} = 400 - 288 = 112 > 0$ で、2 解の和 $\frac{40}{9}$ と積 $\frac{32}{9}$ はともに正である。中点の $x$ 座標は $\frac{20}{9} > 2$ となり、結果と合う。

別解

$y = m x + 2$ を $4 x^{2} - y^{2} = 4$ に代入すると $(4 - m^{2}) x^{2} - 4 m x - 8 = 0$ …①。

$P, Q$ が $x$ 座標の正である異なる 2 点であるためには、① が異なる 2 つの正の実数解をもてばよい。

2 次方程式であるから $4 - m^{2} \neq = 0$ 。
判別式について $D /4 = 16 m^{2} + 8 (4 - m^{2}) \cdot 4/4$ と整理すると、 $D = 16 m^{2} + 32 (4 - m^{2}) = 128 - 16 m^{2} > 0$ より $m^{2} < 8$ 。
解の積について $\frac{- 8}{4 - m ^{2}} > 0$ より $4 - m^{2} < 0$ 、すなわち $m^{2} > 4$ 。
解の和について $\frac{4 m}{4 - m ^{2}} > 0$ 。 $4 - m^{2} < 0$ なので $m < 0$ 。

よって $- 22 < m < - 2$ 。

中点の $x$ 座標は $X = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 m}{4 - m ^{2}} = \frac{2 m}{4 - m ^{2}}$ 。

$t = - m$ とおくと $2 < t < 22$ で、 $X = \frac{2 t}{t ^{2} - 4} = f (t)$ 。

$f^{'} (t) = \frac{2 ( t ^{2} - 4 ) - 4 t ^{2}}{( t ^{2} - 4 ) ^{2}} = \frac{- 2 t ^{2} - 8}{( t ^{2} - 4 ) ^{2}} < 0$ なので $f$ は単調減少。

$t \to 2 + 0$ で $X \to \infty$ 。 $t = 22$ のとき $X = \frac{4 2}{4} = 2$ （端点は含まない）。

検算： $m = - 2.5$ のとき ① は $2.25 x^{2} - 10 x + 8 = 0$ 。判別式は $100 - 72 = 28 > 0$ で、2 解の和 $> 0$ 、積 $> 0$ より 2 解とも正。中点は $10/4.5 \approx 2.22 > 2$ となり範囲に入る。

したがって、中点の $x$ 座標の範囲は $x > 2$ 。

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