平面上の曲線の問題

交点の $x$ 座標の方程式

$y=mx+3$ を $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ すなわち $4x^2+9y^2=36$ に代入すると
$$4x^2+9(mx+3{)}^2=36$$
$$(9m^2+4)x^2+54mx+45=0(1)$$
となる。$9m^2+4>0$ なので $(1)$ は 2 次方程式である。$\ell$ と $C$ が異なる 2 点で交わる条件は、$(1)$ の判別式を $D$ として
$$\frac{D}{4}=(27m{)}^2-45(9m^2+4)=324m^2-180>0,\text{すなわち}{m}^2>\frac{5}{9}(2)$$
である。

比の条件を $x$ 座標で表す

$\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標をそれぞれ $x_1$, $x_2$ とする。$\mathrm{A}$ は $C$ の外部の点（$\frac{0^2}{9}+\frac{3^2}{4}>1$）である。$\mathrm{AQ}=2\mathrm{AP}$ より $\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$ なので、直線 $\ell$ 上で $\mathrm{A}$ から見て $\mathrm{P}$ が手前、$\mathrm{Q}$ が奥にあり、$\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{A}$ から見て同じ向きにある。$\mathrm{A}$ の $x$ 座標は $0$ だから、$\mathrm{AQ}=2\mathrm{AP}$ は
$$x_2=2x_1$$
と同値である。

解と係数の関係より
$$x_1+x_2=3x_1=-\frac{54m}{9m^2+4},x_1{x}_2=2x_1^2=\frac{45}{9m^2+4}.$$
1 つ目の式から $x_1=-\frac{18m}{9m^2+4}$ である。これを 2 つ目の式に代入すると
$$2\cdot \frac{324m^2}{(9m^2+4{)}^2}=\frac{45}{9m^2+4}.$$
両辺に $(9m^2+4{)}^2$ を掛けて
$$648m^2=45(9m^2+4)=405m^2+180$$
$$243m^2=180,m^2=\frac{20}{27}.$$
$\frac{20}{27}>\frac{15}{27}=\frac{5}{9}$ なので $(2)$ を満たす。よって $m=\pm \frac{2\sqrt{15}}{9}$ である。

面積の計算

$\mathrm{P}(x_1,m{x}_1+3)$, $\mathrm{Q}(x_2,m{x}_2+3)$ より
$$△\mathrm{OPQ}=\frac{1}{2}\left|x_1(m{x}_2+3)-x_2(m{x}_1+3)\right|=\frac{3}{2}|x_1-x_2|=\frac{3}{2}|x_1|.$$
$9m^2+4=\frac{20}{3}+4=\frac{32}{3}$ なので
$$|x_1|=\frac{18|m|}{\frac{32}{3}}=\frac{27|m|}{16}=\frac{27}{16}\cdot \frac{2\sqrt{15}}{9}=\frac{3\sqrt{15}}{8}.$$
したがって
$$△\mathrm{OPQ}=\frac{3}{2}\cdot \frac{3\sqrt{15}}{8}=\frac{9\sqrt{15}}{16}.$$
$m=\frac{2\sqrt{15}}{9}$ と $m=-\frac{2\sqrt{15}}{9}$ の場合は $y$ 軸に関して対称な位置関係になるので、面積はどちらの場合も同じである。

答えは $\frac{9\sqrt{15}}{16}$ である。

$\ell$ と $C$ の式から $y$ を消すと $4x^2+9(mx+3{)}^2=36$、すなわち $(4+9m^2)x^2+54mx+45=0$ となる。$D=4+9m^2$ とおく。

点 A は楕円の外側にあるので、P, Q は A から見て直線上の同じ側にある。よって $\mathrm{AQ}=2\mathrm{AP}$ は $x_Q=2x_P$ と同値である。$x_P=t$, $x_Q=2t$ とおく。

解と係数の関係より、$3t=-54m/D$ かつ $2t^2=45/D$。
第1式から $t=-18m/D$。これを第2式に代入すると $648m^2/D^2=45/D$ となり、$648m^2=45D=180+405m^2$。よって $m^2=20/27$。

このとき $D=4+20/3=32/3$。判別式は $54^2{m}^2-4\cdot 45\cdot D=2160-1920=240>0$ で、異なる2点で交わる。

$t^2=45/(2D)=135/64$ より $|t|=3\sqrt{15}/8$。

面積は $\frac{1}{2}|x_P{y}_Q-x_Q{y}_P|$ で求める。$y=mx+3$ を代入すると $x_P{y}_Q-x_Q{y}_P=3(x_P-x_Q)$ となるので、
$S=\frac{3}{2}|x_P-x_Q|=\frac{3}{2}|t|=\frac{9\sqrt{15}}{16}$。

検算: $m=2\sqrt{15}/9$ のとき $t=-18m/D=-\frac{36\sqrt{15}}{9}\cdot \frac{3}{32}=-\frac{3\sqrt{15}}{8}$ で、$|t|$ は上と一致する。