平面上の曲線の問題

$y=x+k$ を $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ に代入して両辺を $4$ 倍すると
$$x^2+4(x+k{)}^2=4$$
$$5x^2+8kx+4k^2-4=0(1)$$

異なる 2 点で交わる条件
$(1)$ の判別式を $D$ とすると
$$\frac{D}{4}=(4k{)}^2-5(4k^2-4)=20-4k^2>0$$
より $k^2<5$ である。

$\angle \mathrm{POQ}$ が鈍角となる条件
$\mathrm{P}(x_1,y_1)$, $\mathrm{Q}(x_2,y_2)$ とすると、$x_1,x_2$ は $(1)$ の 2 解なので、解と係数の関係より
$$x_1+x_2=-\frac{8k}{5},x_1{x}_2=\frac{4k^2-4}{5}$$
また $y_i=x_i+k$ より
$$y_1{y}_2=x_1{x}_2+k(x_1+x_2)+k^2=\frac{4k^2-4}{5}-\frac{8k^2}{5}+k^2=\frac{k^2-4}{5}$$
よって
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=\frac{4k^2-4}{5}+\frac{k^2-4}{5}=\frac{5k^2-8}{5}$$
$\angle \mathrm{POQ}$ が鈍角（$\frac{\pi }{2}<\angle \mathrm{POQ}<\pi$）であるためには、内積が負であることが必要で
$$5k^2-8<0⟺k^2<\frac{8}{5}$$

三角形をなす条件
$\mathrm{O}$ が直線 $y=x+k$ 上にあると 3 点は一直線上にあり三角形をなさない（このとき $\angle \mathrm{POQ}=\pi$ で鈍角ではない）。$\mathrm{O}$ が直線上にあるのは $k=0$ のときなので、$k\ne 0$ が必要である。逆に $k\ne 0$ なら $\mathrm{O}$ は直線 $\mathrm{PQ}$ 上になく三角形をなし、内積が負であれば $\angle \mathrm{POQ}$ は鈍角である。

まとめ
$k^2<5$, $k^2<\frac{8}{5}$, $k\ne 0$ をすべて満たす範囲は、$\frac{8}{5}<5$ より
$$0<k^2<\frac{8}{5}$$
$\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$ だから
$$-\frac{2\sqrt{10}}{5}<k<0,0<k<\frac{2\sqrt{10}}{5}$$

直線の式を楕円の式に代入すると $x^2+4(x+k{)}^2=4$、すなわち $5x^2+8kx+4k^2-4=0$ となる。

異なる 2 点で交わる条件は判別式が正であること。判別式は $64k^2-20(4k^2-4)=16(5-k^2)$ なので、$k^2<5$ である。

P$(x_1,y_1)$, Q$(x_2,y_2)$ とおくと、解と係数の関係より $x_1+x_2=-\frac{8k}{5}$, $x_1{x}_2=\frac{4k^2-4}{5}$。

$y_1{y}_2=(x_1+k)(x_2+k)=x_1{x}_2+k(x_1+x_2)+k^2=\frac{4k^2-4-8k^2+5k^2}{5}=\frac{k^2-4}{5}$。

よって $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=\frac{5k^2-8}{5}$。

$\angle POQ$ が鈍角であるためには内積が負、つまり $k^2<\frac{8}{5}$ が必要。これは $k^2<5$ を満たす。

さらに O, P, Q が三角形をなすには、直線が原点を通らないこと、すなわち $k\ne 0$ が必要。$k=0$ のとき $\angle POQ=180^{\circ }$ となり、三角形にならないので除く。

$\sqrt{8/5}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$ なので、答えは $-\frac{2\sqrt{10}}{5}<k<0$ または $0<k<\frac{2\sqrt{10}}{5}$。

検算：$k=1$ のとき $\frac{5-8}{5}<0$ で鈍角、$k=0$ のとき内積は $-\frac{8}{5}<0$ だが一直線上なので除外。