平面上の曲線の問題

放物線と直線の共有点の座標は、2 つの方程式を連立した解である。

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$y=x+k$ を $y^2=8x$ に代入すると
$$(x+k{)}^2=8x$$
展開して整理すると
$$x^2+2kx+k^2-8x=0$$
$$x^2+(2k-8)x+k^2=0(1)$$

2. 共有点の個数と実数解の個数の関係

$(1)$ の実数解 $x$ が 1 つ決まるごとに、$y=x+k$ によって $y$ がただ 1 つ決まり、放物線と直線の共有点が 1 つ決まる。したがって、共有点の個数は $x$ の 2 次方程式 $(1)$ の異なる実数解の個数と一致する。

よって、共有点をもつ条件は、$(1)$ が実数解をもつこと、すなわち判別式 $D$ について $D\geqq 0$ となることである。

3. 判別式を計算する

$(1)$ は $x$ の係数が $2(k-4)$ なので、$\frac{D}{4}$ を用いると
$$\frac{D}{4}=(k-4{)}^2-1\cdot k^2=k^2-8k+16-k^2=-8k+16$$

4. 条件を解く

$$-8k+16\geqq 0$$
$$k\leqq 2$$

なお、$k=2$ のとき $D=0$ となり、直線は放物線に接する（共有点は 1 個）。$k<2$ のときは共有点が 2 個である。

答え: $k\leqq 2$

$y=x+k$ より $x=y-k$ を $y^2=8x$ に代入すると $y^2=8(y-k)$、すなわち $y^2-8y+8k=0$。共有点をもつ条件は、この $y$ の2次方程式が実数解をもつことである（各実数 $y$ に対し $x=y-k$ がただ1つ定まり、$y^2=8x$ を満たす）。判別式は $D/4=16-8k\ge 0$ より $k\le 2$。
検算：$k=2$ のとき $y^2-8y+16=0$ より $y=4$、$x=2$。$y^2=16=8\cdot 2$ で直線 $y=x+2$ 上にもあるので、接点 $(2,4)$ で共有点をもつ。$k=3$ のとき $D/4=16-24<0$ で共有点なし。$k=0$ のとき $y=0,8$ で共有点あり。