平面上の曲線の問題

直線の式 $y=mx+1$ を双曲線の式に代入する。
$$\frac{x^2}{4}-(mx+1{)}^2=1$$
両辺を $4$ 倍すると
$$x^2-4(m^2{x}^2+2mx+1)=4$$
整理して
$$(1-4m^2)x^2-8mx-8=0(1)$$
共有点の個数は、$(1)$ の異なる実数解の個数に等しい（$x$ が決まれば $y=mx+1$ により $y$ もただ 1 つに決まるから）。

(i) $1-4m^2=0$、すなわち $m=\pm \frac{1}{2}$ のとき

$(1)$ は $-8mx-8=0$ となる。$m\ne 0$ であるから $x=-\frac{1}{m}$ とただ 1 つに定まる。よって共有点はちょうど 1 個である。
（たとえば $m=\frac{1}{2}$ のとき $x=-2,y=0$ であり、点 $(-2,0)$ は確かに双曲線上にある。これは直線が漸近線 $y=\pm \frac{1}{2}x$ と平行な場合である。）

(ii) $1-4m^2\ne 0$ のとき

$(1)$ は $x$ の 2 次方程式であり、共有点がちょうど 1 個となるのは重解をもつとき、すなわち判別式 $D=0$ のときである。
$$\frac{D}{4}=(-4m{)}^2-(1-4m^2)\cdot (-8)=16m^2+8-32m^2=8-16m^2$$
$\frac{D}{4}=0$ より $m^2=\frac{1}{2}$、よって $m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。
このとき $1-4m^2=1-2=-1\ne 0$ であり、条件を満たす。
（確認: $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $(1)$ は $-x^2-4\sqrt{2}x-8=0$、すなわち $(x+2\sqrt{2}{)}^2=0$ となり $x=-2\sqrt{2}$、$y=-1$。$\frac{8}{4}-1=1$ で双曲線上にある。）

以上より、求める $m$ の値は
$$m=-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}$$

直線 $y=mx+1$ を $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ に代入すると $x^2-4(mx+1{)}^2=4$。展開して $x^2-4m^2{x}^2-8mx-4-4=0$、つまり $(1-4m^2)x^2-8mx-8=0$ となる。

(i) $1-4m^2=0$、すなわち $m=\pm \frac{1}{2}$ のとき、$-8mx-8=0$ より $x=-1/m$ となり、解はただ 1 つ。共有点はちょうど 1 個である。この直線は漸近線 $y=\pm \frac{1}{2}x$ と平行で、双曲線と 1 点で交わる。

(ii) $1-4m^2\ne 0$ のとき、判別式 $D/4=16m^2+8(1-4m^2)=8-16m^2$ が 0 であればよい。よって $m^2=\frac{1}{2}$、$m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる。このとき重解となり接する。共有点は 1 個である。

検算：$m=\frac{\sqrt{2}}{2}$ では $1-4m^2=1-2=-1$ で、$-x^2-4\sqrt{2}x-8=0$、すなわち $(x+2\sqrt{2}{)}^2=0$ となり重解。これは条件に合う。$m=\frac{1}{2}$ では $-4x-8=0$ より $x=-2$、$y=0$ で、実際に $\frac{4}{4}-0=1$ を満たす。

以上より $m=\pm \frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ である。