平面上の曲線の問題

$y=mx+1$ を $x^2-\frac{y^2}{4}=1$ に代入し、両辺を $4$ 倍すると
$$4x^2-(mx+1{)}^2=4$$
$$4x^2-(m^2{x}^2+2mx+1)=4$$
$$(4-m^2)x^2-2mx-5=0(1)$$
となる。$x$ の値を $1$ つ決めると直線上の点が $1$ つ決まるので、共有点の個数は $(1)$ の異なる実数解の個数に等しい。

(i) $4-m^2=0$、すなわち $m=\pm 2$ のとき

$(1)$ は $-2mx-5=0$ という $1$ 次方程式になる。$m\ne 0$ なので、ただ $1$ つの解 $x=-\frac{5}{2m}$ をもつ。よって共有点はちょうど $1$ 個である。(このとき直線は漸近線 $y=\pm 2x$ に平行である。)

(ii) $4-m^2\ne 0$、すなわち $m\ne \pm 2$ のとき

$(1)$ は $2$ 次方程式である。共有点がちょうど $1$ 個となるのは、$(1)$ が重解をもつときである。判別式を $D$ とすると
$$\frac{D}{4}=(-m{)}^2-(4-m^2)\cdot (-5)=m^2+20-5m^2=20-4m^2$$
である。$\frac{D}{4}=0$ より $m^2=5$、すなわち $m=\pm \sqrt{5}$ である。これは $m\ne \pm 2$ を満たす。

(確認) $m=\sqrt{5}$ のとき、$(1)$ は $-x^2-2\sqrt{5}x-5=0$、すなわち $(x+\sqrt{5}{)}^2=0$ となり、$x=-\sqrt{5}$ である。このとき $y=-5+1=-4$ であり、$5-\frac{16}{4}=1$ を満たす。したがって点 $(-\sqrt{5},-4)$ で接する。$m=-\sqrt{5}$ のときも同様に、点 $(\sqrt{5},-4)$ で接する。

(i), (ii) より、求める $m$ の値は
$$m=-\sqrt{5},-2,2,\sqrt{5}$$

直線の式 $y=mx+1$ を双曲線の式に代入すると $x^2-\frac{(mx+1{)}^2}{4}=1$。両辺に $4$ を掛けて整理すると $(4-m^2)x^2-2mx-5=0$ …①。直線は $y$ 軸に平行ではないので、共有点の個数は①の実数解 $x$ の個数に等しい。

(i) $4-m^2=0$、すなわち $m=\pm 2$ のとき、①は $-2mx-5=0$ となり、$m\ne 0$ より解はちょうど $1$ つ。よって共有点は $1$ 個で条件を満たす。例えば $m=2$ のとき $x=-\frac{5}{4}$ で、確かに $1$ 個。

(ii) $4-m^2\ne 0$ のとき、①は $2$ 次方程式なので、重解をもつ条件は判別式 $D/4=m^2+5(4-m^2)=20-4m^2=0$。これより $m^2=5$、$m=\pm \sqrt{5}$。このとき重解となり共有点は $1$ 個（接する）。

以上より $m=\pm 2,\pm \sqrt{5}$。