平面上の曲線の問題

楕円と直線の共有点の座標は、2 つの方程式を連立させた連立方程式の実数解です。そこで、直線の式を楕円の式に代入して $y$ を消去します。

楕円の方程式の両辺に $3$ を掛けると $x^2+3y^2=3$ です。これに $y=x+k$ を代入すると
$$x^2+3(x+k{)}^2=3$$
$$x^2+3x^2+6kx+3k^2=3$$
$$4x^2+6kx+3k^2-3=0(1)$$

$x$ の 2 次方程式 $(1)$ が実数解 $x$ をもてば、$y=x+k$ から $y$ も実数に決まり、それが共有点の座標になります。したがって、楕円と直線が共有点をもつ条件は、$(1)$ が実数解をもつこと、つまり判別式 $D$ が $D\geqq 0$ となることです。

$(1)$ の $x$ の係数は $6k=2\cdot 3k$ なので、$\frac{D}{4}$ を使うと
$$\frac{D}{4}=(3k{)}^2-4(3k^2-3)=9k^2-12k^2+12=-3k^2+12$$

$\frac{D}{4}\geqq 0$ より
$$-3k^2+12\geqq 0$$
$$k^2-4\leqq 0$$
$$(k+2)(k-2)\leqq 0$$
よって
$$-2\leqq k\leqq 2$$

（補足）$k=\pm 2$ のときは $D=0$ となり、直線は楕円に接します（共有点は 1 個）。$-2<k<2$ のときは $D>0$ で、共有点は 2 個です。

$y=x+k$ を $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ に代入すると、$x^2+3(x+k{)}^2=3$ となる。
整理すると $4x^2+6kx+3k^2-3=0$。
共有点をもつ条件は判別式 $D\ge 0$。
$D/4=(3k{)}^2-4(3k^2-3)=9k^2-12k^2+12=12-3k^2\ge 0$
よって $k^2\le 4$、すなわち $-2\le k\le 2$。
検算：$k=2$ のとき $4x^2+12x+9=(2x+3{)}^2=0$ で重解 $x=-3/2$、$y=1/2$。$\frac{9/4}{3}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$ で接する。$k=0$ のとき $x^2=3/4$ で2点の共有点をもつ。