平面上の曲線の問題

手順1：楕円を媒介変数で表す。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点は $(a\cos \theta ,b\sin \theta )$ と表せる。ここでは $a^2=3,b^2=1$ だから $a=\sqrt{3},b=1$ である。よって点 $\mathrm{P}$ は
$$x=\sqrt{3}\cos \theta ,y=\sin \theta (0\leqq \theta <2\pi )$$
と表せる。実際、$\frac{(\sqrt{3}\cos \theta {)}^2}{3}+{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ となり、楕円の方程式を満たす。$\theta$ が $0\leqq \theta <2\pi$ を動くと、$\mathrm{P}$ は楕円全体を動く。

手順2：$x+y$ を $\theta$ の式で表す。
$$x+y=\sqrt{3}\cos \theta +\sin \theta =\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$$

手順3：三角関数の合成をする。

$\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$ であり、$\cos \alpha =\frac{1}{2},\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる角は $\alpha =\frac{\pi }{3}$ だから
$$x+y=2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$$

手順4：最大値を求める。

$\frac{\pi }{3}\leqq \theta +\frac{\pi }{3}<\frac{7}{3}\pi$ であり、この範囲で $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$ の最大値は $1$ である（$\theta +\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{6}$ のとき）。

このとき $x=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$ で、$x+y=2$ となる。

よって、$x+y$ の最大値は $2$ である。

$x=\sqrt{3}\cos \theta ,y=\sin \theta$ とおく。すると $x+y=\sqrt{3}\cos \theta +\sin \theta =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$ となり、最大値は $2$。
別解: $x+y=k$ とおき、$y=k-x$ を $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ に代入すると $x^2+3(k-x{)}^2=3$、すなわち $4x^2-6kx+3k^2-3=0$。判別式 $D=36k^2-16(3k^2-3)=-12k^2+48\ge 0$ より $k^2\le 4$、よって $-2\le k\le 2$。最大値は $2$。
検算: $k=2$ のとき $4x^2-12x+9=0$ より $x=\frac{3}{2}$、$y=\frac{1}{2}$。$\frac{9/4}{3}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$ で楕円上にあり、$x+y=2$ となる。