平面上の曲線の問題

1. 楕円を媒介変数で表す

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点は、媒介変数 $\theta$ を用いて $(a\cos \theta ,b\sin \theta )$ と表せる。

この楕円では $a=\sqrt{3}$, $b=1$ なので、点 $\mathrm{P}$ は
$$x=\sqrt{3}\cos \theta ,y=\sin \theta (0\leqq \theta <2\pi )$$
と表せる。実際に代入すると $\frac{3{\cos }^2\theta }{3}+{\sin }^2\theta =1$ となり、楕円の方程式を満たす。$\theta$ が $0\leqq \theta <2\pi$ を動くと、点 $\mathrm{P}$ は楕円全体を動く。

2. $x+y$ を $\theta$ の式で表し、三角関数を合成する

$$x+y=\sqrt{3}\cos \theta +\sin \theta$$

$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$ を合成する。$r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$ で、
$$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\left(\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta \right)=2\left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$$

3. 最大値を求める

$0\leqq \theta <2\pi$ より $\frac{\pi }{3}\leqq \theta +\frac{\pi }{3}<\frac{7\pi }{3}$ である。この範囲で $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$ の最大値は $1$ で、それは $\theta +\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{6}$ のときである。

このとき $x+y=2\cdot 1=2$ となる。

（確認：$\theta =\frac{\pi }{6}$ のとき $x=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$、$y=\frac{1}{2}$ である。$\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{4}+\frac{1}{4}=1$ となって楕円上にあり、$x+y=2$ である。）

よって、$x+y$ の最大値は $2$ である。

楕円上の点を $x=\sqrt{3}\cos \theta ,y=\sin \theta$ とおく。すると $x+y=\sqrt{3}\cos \theta +\sin \theta =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$ となる。$\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=1$ となる $\theta$ が存在するので、最大値は $2$。

検算：$x+y=k$ とおき、$y=k-x$ を楕円の式に代入すると $\frac{x^2}{3}+(k-x{)}^2=1$。両辺に3をかけて整理すると $4x^2-6kx+3k^2-3=0$。判別式 $D/4=9k^2-4(3k^2-3)=12-3k^2\ge 0$ より $-2\le k\le 2$。したがって最大値は $2$。このとき $x=\frac{3k}{4}=\frac{3}{2}$, $y=\frac{1}{2}$ で、$\frac{9/4}{3}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$ となり確かに楕円上の点である。