曲線の媒介変数表示

楕円 $(a cos θ, b sin θ)$ 、双曲線 $(\frac{a}{cos θ}, b tan θ)$ 、サイクロイド $(a (θ - sin θ), a (1 - cos θ))$ などの媒介変数表示を使い、曲線上の点の座標や $x + y$ の最大・最小を求められる

前提

双曲線の方程式と焦点・漸近線（数学C 平面上の曲線）
三角関数の合成（数学II 三角関数）

この技能までの道筋（45 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
平行線と線分の比（中学数学相似と三平方の定理）
2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
因数分解（中学数学数と式）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
円の方程式（数学II 図形と方程式）
条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）
楕円の方程式と焦点（数学C 平面上の曲線）
双曲線の方程式と焦点・漸近線（数学C 平面上の曲線）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の合成（数学II 三角関数）

説明

曲線上の点 $(x, y)$ を、1 つの変数 $θ$ を使って $x = f (θ), y = g (θ)$ の形で表すことを曲線の媒介変数表示といい、 $θ$ を媒介変数といいます。楕円や双曲線では、2 つの文字 $x, y$ の条件が 1 つの文字 $θ$ の式に置きかわります。そのため、曲線上の点が動くときの $x + y$ などの最大・最小を、三角関数の合成で求められるようになります。円が転がるときの点の軌跡（サイクロイド）のように、 $x, y$ の方程式では書きにくい曲線も表せます。

なぜそうしてよいのか

楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ は $(\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b})^{2} = 1$ と書けます。つまり点 $(\frac{x}{a}, \frac{y}{b})$ は単位円上にあります。単位円上の点は $(cos θ, sin θ)$ $(0 \leq θ < 2 π)$ と表せるので、 $\frac{x}{a} = cos θ, \frac{y}{b} = sin θ$ 、すなわち $x = a cos θ, y = b sin θ$ です。逆に、この形の点は $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ より必ず楕円上にあります。したがって $θ$ を $0 \leq θ < 2 π$ で動かすと、楕円上のすべての点をちょうど 1 回ずつ表せます。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ では、 $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ の両辺を $cos^{2} θ$ （ $\neq = 0$ ）で割った式 $\frac{1}{cos ^{2} θ} - tan^{2} θ = 1$ を使います。 $x = \frac{a}{cos θ}, y = b tan θ$ とおくと、この式からちょうど双曲線の方程式が出てきます。ただし $cos θ \neq = 0$ となる $θ$ に限ります。

サイクロイドは、半径 $a$ の円が $x$ 軸の上をすべらずに転がるとき、はじめ原点にあった円周上の点がえがく曲線です。円が角 $θ$ だけ回ると、中心は転がった弧の長さ $a θ$ だけ進んで $(a θ, a)$ にあります。点は中心から見て真下から $θ$ だけ回った位置 $(- a sin θ, - a cos θ)$ にあります。合わせると $x = a (θ - sin θ), y = a (1 - cos θ)$ となります。

手順

曲線の方程式を標準形 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （楕円）や $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （双曲線）に直し、 $a, b$ （ $a > 0, b > 0$ ）を読み取る。
媒介変数表示を書く。楕円は $x = a cos θ, y = b sin θ$ $(0 \leq θ < 2 π)$ 。双曲線は $x = \frac{a}{cos θ}, y = b tan θ$ （ $cos θ \neq = 0$ ）。
調べたい式（ $x + y$ など）に代入し、 $θ$ だけの式にする。
三角関数の合成 $p sin θ + q cos θ = p^{2} + q^{2} sin (θ + α)$ などを使い、 $θ$ の範囲に注意して最大・最小を求める。
最大・最小をとる $θ$ が実際に存在することを確かめる。必要なら、そのときの点の座標 $(x, y)$ も求める。

例題

点 $(x, y)$ が楕円 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ 上を動くとき、 $x + y$ の最大値を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $\frac{x ^{2}}{3 ^{2}} + \frac{y ^{2}}{2 ^{2}} = 1$ なので、 $a = 3, b = 2$ です。
【手順2】楕円上の点は $x = 3 cos θ, y = 2 sin θ$ $(0 \leq θ < 2 π)$ と表せます。
【手順3】 $x + y = 2 sin θ + 3 cos θ$ となります。
【手順4】合成すると $2^{2} + 3^{2} = 13$ なので、 $2 sin θ + 3 cos θ = 13 sin (θ + α)$ です。ここで $α$ は $cos α = \frac{2}{13}, sin α = \frac{3}{13}$ を満たす角です。 $- 1 \leq sin (θ + α) \leq 1$ より $x + y \leq 13$ です。
【手順5】 $θ$ は $0 \leq θ < 2 π$ を 1 周するので、 $θ + α = \frac{π}{2}$ （または $\frac{π}{2} + 2 π$ ）となる $θ$ が範囲内にあり、等号が成り立ちます。このとき $cos θ = sin α = \frac{3}{13}, sin θ = cos α = \frac{2}{13}$ です。したがって点は $(\frac{9}{13}, \frac{4}{13})$ です（確認: $\frac{9}{13} + \frac{4}{13} = 1$ ）。
よって最大値は $13$ です。

答え: $13$

よくある誤り

楕円の媒介変数 $θ$ を、原点と点 $(x, y)$ を結ぶ線分が $x$ 軸の正の向きとなす角だと思ってしまう誤り。正しくは、 $θ$ は単位円上の点 $(\frac{x}{a}, \frac{y}{b})$ の角です。例えば $x = 3 cos θ, y = 2 sin θ$ で $θ = \frac{π}{4}$ の点は $(\frac{3}{2}, 2)$ です。この点と原点を結ぶ線分の傾きは $\frac{2}{3}$ で、 $1$ ではありません。
楕円を $x = a cos θ, y = a sin θ$ のように同じ $a$ で表してしまう誤り。これは円 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ の表示です。正しくは $y$ には $b$ を使い、 $x = a cos θ, y = b sin θ$ とします。
$2 sin θ + 3 cos θ$ の最大値を、 $sin θ$ と $cos θ$ をそれぞれ $1$ にして $2 + 3 = 5$ としてしまう誤り。 $sin θ = cos θ = 1$ となる $θ$ はありません。正しくは合成して $13 sin (θ + α)$ とし、最大値は $13$ です。
双曲線の表示 $x = \frac{a}{cos θ}, y = b tan θ$ で、 $θ = \frac{π}{2}$ なども代入してしまう誤り。正しくは $cos θ \neq = 0$ が条件で、 $θ \neq = \frac{π}{2}, \frac{3}{2} π$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

媒介変数の消去と変域（数学C 平面上の曲線）
最速降下線（大学院数学変分法・最適制御）