平面上の曲線の問題

焦点

$C$ は $a=3$, $b=2$ の楕円なので、焦点の $x$ 座標は $\pm \sqrt{9-4}=\pm \sqrt{5}$。よって $\mathrm{F}(\sqrt{5},0)$。

$\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$ の座標

$\mathrm{P}(p,q)$ $(p>0,q>0)$ とすると $\frac{p^2}{9}+\frac{q^2}{4}=1$ $(1)$ で、$0<p<3$ である。$\mathrm{P}$ における接線は
$$\frac{px}{9}+\frac{qy}{4}=1$$
である。$x=3$ を代入すると $\frac{qy}{4}=1-\frac{p}{3}$ より
$$\mathrm{M}\left(3,\frac{4(3-p)}{3q}\right)$$
$x=-3$ を代入すると $\frac{qy}{4}=1+\frac{p}{3}$ より
$$\mathrm{N}\left(-3,\frac{4(3+p)}{3q}\right)$$
ここで $u=\frac{4(3-p)}{3q}$, $v=\frac{4(3+p)}{3q}$ とおくと、$0<p<3$ より $u>0$, $v>0$ であり、
$$uv=\frac{16(9-p^2)}{9q^2}$$
$(1)$ より $9-p^2=\frac{9q^2}{4}$ なので
$$uv=\frac{16}{9q^2}\cdot \frac{9q^2}{4}=4$$

面積

$\overrightarrow{\mathrm{FM}}=(3-\sqrt{5},u)$, $\overrightarrow{\mathrm{FN}}=(-3-\sqrt{5},v)$ なので、三角形 $\mathrm{FMN}$ の面積 $S$ は
$$S=\frac{1}{2}\left|(3-\sqrt{5})v-u(-3-\sqrt{5})\right|=\frac{1}{2}\left\{(3-\sqrt{5})v+(3+\sqrt{5})u\right\}$$
（$u,v>0$, $3-\sqrt{5}>0$ なので中身は正）。

最小値

$(3-\sqrt{5})v>0$, $(3+\sqrt{5})u>0$ なので、相加平均と相乗平均の大小関係より
$$(3-\sqrt{5})v+(3+\sqrt{5})u\geqq 2\sqrt{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})uv}=2\sqrt{4\cdot 4}=8$$
よって $S\geqq 4$。等号は $(3-\sqrt{5})v=(3+\sqrt{5})u=4$ のとき、すなわち $u=\frac{4}{3+\sqrt{5}}=3-\sqrt{5}$, $v=\frac{4}{3-\sqrt{5}}=3+\sqrt{5}$ のときに成り立つ。

このような $\mathrm{P}$ が実際にあることを確かめる。$\frac{v}{u}=\frac{3+p}{3-p}$ なので
$$\frac{3+p}{3-p}=\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$
これを解くと $(3+p)(3-\sqrt{5})=(3-p)(3+\sqrt{5})$ より $6p=6\sqrt{5}$、$p=\sqrt{5}$。$(1)$ より $q^2=4\left(1-\frac{5}{9}\right)=\frac{16}{9}$、$q=\frac{4}{3}$。このとき
$$u=\frac{4(3-\sqrt{5})}{3\cdot \frac{4}{3}}=3-\sqrt{5}$$
となり、確かに等号が成り立つ。$\mathrm{P}\left(\sqrt{5},\frac{4}{3}\right)$ は第 $1$ 象限にある。

以上より、三角形 $\mathrm{FMN}$ の面積の最小値は $4$ である。

楕円 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ で $c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$ なので $\mathrm{F}(\sqrt{5},0)$。

$\mathrm{P}(3\cos \theta ,2\sin \theta )$ $\left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$ とおくと、接線は $\frac{\cos \theta }{3}x+\frac{\sin \theta }{2}y=1$。

$x=3$ のとき $y=\frac{2(1-\cos \theta )}{\sin \theta }=2\tan \frac{\theta }{2}$、$x=-3$ のとき $y=\frac{2(1+\cos \theta )}{\sin \theta }=\frac{2}{\tan (\theta /2)}$。

$t=\tan \frac{\theta }{2}$ とおくと $0<t<1$ で、$\mathrm{M}(3,2t)$、$\mathrm{N}\left(-3,\frac{2}{t}\right)$。

$\overrightarrow{\mathrm{FM}}=(3-\sqrt{5},2t)$、$\overrightarrow{\mathrm{FN}}=\left(-3-\sqrt{5},\frac{2}{t}\right)$ より
$$S=\frac{1}{2}\left|(3-\sqrt{5})\cdot \frac{2}{t}-2t\cdot (-3-\sqrt{5})\right|=\frac{3-\sqrt{5}}{t}+(3+\sqrt{5})t.$$
（$t>0$ より中身は正。）

相加平均・相乗平均の関係より
$$S\ge 2\sqrt{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=2\sqrt{4}=4.$$
等号は $\frac{3-\sqrt{5}}{t}=(3+\sqrt{5})t$、すなわち $t^2=\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\frac{(3-\sqrt{5}{)}^2}{4}$、$t=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0.38$ のとき成り立ち、これは $0<t<1$ を満たす。

検算: $t=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のとき $\frac{3-\sqrt{5}}{t}=2$、$(3+\sqrt{5})t=\frac{9-5}{2}=2$ で和は $4$。また $\theta =\frac{\pi }{2}$ に近い極限 $t\to 1$ では $S\to 6$、$t\to 0$ では $S\to \infty$ で、$4$ より大きい。

よって最小値は $4$。