2 次曲線の接線

曲線上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線 $\frac{x _{1} x}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$ や $y_{1} y = 2 p (x + x_{1})$ を求め、判別式 $= 0$ から傾き $m$ の接線や 2 曲線の共通接線を求められる

前提

2 次曲線と直線の共有点（数学C 平面上の曲線）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）

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算数中学高校大学大学院

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説明

楕円・双曲線・放物線（2 次曲線）の接線の方程式を求める技能です。接点がわかっているときは、接点の座標を公式に代入するだけで接線が書けます。接点がわからず「傾きが $m$ 」「この点を通る」「2 つの曲線に同時に接する」などの条件しかないときは、直線の式を文字でおいて判別式 $= 0$ を使います。

なぜそうしてよいのか

楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の両辺を $x$ で微分すると $\frac{2 x}{a ^{2}} + \frac{2 y}{b ^{2}} \cdot \frac{d y}{d x} = 0$ です。曲線上の点 $(x_{1}, y_{1})$ で $y_{1} \neq = 0$ なら、接線の傾きは $- \frac{b ^{2} x _{1}}{a ^{2} y _{1}}$ です。接線 $y - y_{1} = - \frac{b ^{2} x _{1}}{a ^{2} y _{1}} (x - x_{1})$ の両辺に $\frac{y _{1}}{b ^{2}}$ を掛けて整理すると $\frac{x _{1} x}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = \frac{x _{1}^{2}}{a ^{2}} + \frac{y _{1}^{2}}{b ^{2}}$ となり、点が楕円上にあるので右辺は $1$ です。よって $\frac{x _{1} x}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$ 。 $y_{1} = 0$ のとき（点 $(\pm a, 0)$ ）の接線は $x = \pm a$ で、これも同じ式に含まれます。双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ では同様に $\frac{x _{1} x}{a ^{2}} - \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$ です。放物線 $y^{2} = 4 p x$ では $2 y \frac{d y}{d x} = 4 p$ から傾きは $\frac{2 p}{y _{1}}$ 。 $y - y_{1} = \frac{2 p}{y _{1}} (x - x_{1})$ の両辺に $y_{1}$ を掛けて $y_{1}^{2} = 4 p x_{1}$ を使うと $y_{1} y = 2 p (x + x_{1})$ が得られます（ $y_{1} = 0$ のときは原点での接線 $x = 0$ で、これも含まれます）。覚え方は「 $x^{2} \to x_{1} x$ , $y^{2} \to y_{1} y$ , $x \to \frac{x + x _{1}}{2}$ と置き換える」です。

一方、接点がわからないときは、直線と 2 次曲線の共有点の考え方を使います。直線の式を曲線の式に代入して 1 文字を消去した 2 次方程式が重解をもつとき、直線と曲線はただ 1 点で接します。したがって「判別式 $D = 0$ 」が接する条件になります。2 つの曲線の共通接線は、同じ直線 $y = m x + n$ が両方の曲線に対して $D = 0$ を満たすことなので、2 つの条件を連立して $m, n$ を決めます。

手順

接点 $(x_{1}, y_{1})$ がわかっているとき：その点が曲線上にあることを確かめ、公式 $\frac{x _{1} x}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$ （楕円）、 $\frac{x _{1} x}{a ^{2}} - \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$ （双曲線）、 $y_{1} y = 2 p (x + x_{1})$ （放物線 $y^{2} = 4 p x$ ）に代入する。
接点がわからないとき：接線を $y = m x + n$ とおく（通る点が与えられたときは $y = m (x - s) + t$ ）。 $y$ 軸に平行な直線 $x = k$ が接線になる場合は別に調べる。
直線の式を曲線の式に代入して $y$ を消去し、 $x$ の 2 次方程式をつくる。 $x^{2}$ の係数が $0$ でないことを確かめる。
判別式 $D = 0$ （または $\frac{D}{4} = 0$ ）とおき、未知の文字 $n$ や $m$ を求める。
共通接線のときは、2 つの曲線それぞれで手順 3・4 を行い、得られた 2 つの条件を連立して $m, n$ を求める。

例題

楕円 $\frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{2} = 1$ 上の点 $(2, 1)$ における接線の方程式を $y = (x の式)$ の形で求めよ。

例題の解答

手順 1：まず点が楕円上にあることを確かめる。 $\frac{2 ^{2}}{8} + \frac{1 ^{2}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ なので、点 $(2, 1)$ は楕円上にある。
楕円の接線の公式 $\frac{x _{1} x}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$ に $a^{2} = 8$ , $b^{2} = 2$ , $x_{1} = 2$ , $y_{1} = 1$ を代入すると $\frac{2 x}{8} + \frac{y}{2} = 1$ 、つまり $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$ 。
両辺に $2$ を掛けて $\frac{x}{2} + y = 2$ より $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 。
（確認：陰関数の微分より傾きは $- \frac{b ^{2} x _{1}}{a ^{2} y _{1}} = - \frac{2 \cdot 2}{8 \cdot 1} = - \frac{1}{2}$ で一致する。）

答え: $- \frac{1}{2} x + 2$

よくある誤り

曲線上にない点に接線の公式を使ってしまう誤り。例えば点 $(4, 0)$ は楕円 $\frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{2} = 1$ の外にあるので、 $\frac{4 x}{8} = 1$ すなわち $x = 2$ は接線ではない。正しくは $y = m (x - 4)$ とおいて代入し、判別式 $D = 0$ から $m$ を求める。
放物線の接線を $y_{1} y = 4 p x$ や $y_{1} y = 2 p x$ としてしまう誤り。正しくは $y_{1} y = 2 p (x + x_{1})$ 。例えば $y^{2} = 8 x$ （ $p = 2$ ）上の点 $(2, 4)$ では $4 y = 4 (x + 2)$ 、つまり $y = x + 2$ 。
接線を $y = m x + n$ とおいたために $y$ 軸に平行な接線を見落とす誤り。例えば点 $(2, 3)$ から楕円 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ に引いた接線には $x = 2$ （接点 $(2, 0)$ ）も含まれる。正しくは $x = k$ の形の直線も別に調べる。
双曲線で $x^{2}$ の係数が $0$ になる場合にも判別式を使ってしまう誤り。例えば $x^{2} - y^{2} = 1$ に $y = x + n$ を代入すると $- 2 n x - n^{2} - 1 = 0$ となり 1 次方程式なので判別式は使えない（漸近線に平行な直線は共有点が 1 個でも接線ではない）。正しくは $x^{2}$ の係数が $0$ でないことを確かめてから $D = 0$ を使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

接点を結ぶ直線と直交する 2 接線（数学C 平面上の曲線）