接点を結ぶ直線と直交する 2 接線

曲線外の点 $(x_{0}, y_{0})$ から引いた 2 接線の接点を結ぶ直線が $\frac{x _{0} x}{a ^{2}} + \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1$ になることを使え、2 接線が直交する点の軌跡 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ を求められる

前提

2 次曲線の接線（数学C 平面上の曲線）
2直線の平行・垂直（数学II 図形と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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2直線の平行・垂直（数学II 図形と方程式）

説明

楕円の外の点から楕円には接線が 2 本引けます。この技能を使うと、2 つの接点を結ぶ直線の方程式を、接点を求めずに一度で書けます。また、2 本の接線が直交するような点がどこにあるか（その軌跡）を求められます。軌跡は楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ に対して円 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ になり、接線の直交条件を座標の条件に言いかえる問題で使います。

なぜそうしてよいのか

【接点を結ぶ直線】楕円の外の点 $P (x_{0}, y_{0})$ から引いた 2 接線の接点を $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ とします。接点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線は $\frac{x _{1} x}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$ で、これが P を通るので $\frac{x _{1} x _{0}}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y _{0}}{b ^{2}} = 1$ です。同様に $\frac{x _{2} x _{0}}{a ^{2}} + \frac{y _{2} y _{0}}{b ^{2}} = 1$ も成り立ちます。この 2 式は「点 $(x_{1}, y_{1})$ も点 $(x_{2}, y_{2})$ も方程式 $\frac{x _{0} x}{a ^{2}} + \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1$ を満たす」と読めます。原点は楕円の内部にあるので P は原点ではなく、この方程式は直線を表します。異なる 2 点を通る直線は 1 本だけなので、これが接点を結ぶ直線です。放物線 $y^{2} = 4 p x$ でも、接線の式 $y_{1} y = 2 p (x + x_{1})$ を使って同じように考えると $y_{0} y = 2 p (x + x_{0})$ になります。

【直交する 2 接線】傾き $m$ の直線 $y = m x + n$ を楕円の式に代入すると $(b^{2} + a^{2} m^{2}) x^{2} + 2 a^{2} mn x + a^{2} (n^{2} - b^{2}) = 0$ になります。判別式を $4$ で割ったものは $a^{2} b^{2} (a^{2} m^{2} + b^{2} - n^{2})$ なので、接する条件は $n^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}$ です。この接線が P を通ると $n = y_{0} - m x_{0}$ なので、 $(y_{0} - m x_{0})^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}$ 、整理して $(x_{0}^{2} - a^{2}) m^{2} - 2 x_{0} y_{0} m + (y_{0}^{2} - b^{2}) = 0$ となります。 $x_{0} \neq = \pm a$ のとき、これは P から引いた接線の傾き $m$ が満たす 2 次方程式です。

一般に、2 次方程式 $α m^{2} + β m + γ = 0$ （ $α \neq = 0$ ）が 2 つの解 $m_{1}, m_{2}$ をもつとき、 $α m^{2} + β m + γ = α (m - m_{1}) (m - m_{2})$ と因数分解できます。右辺を展開して定数項を比べると $m_{1} m_{2} = \frac{γ}{α}$ です。垂直の条件は $m_{1} m_{2} = - 1$ なので、 $\frac{y _{0}^{2} - b ^{2}}{x _{0}^{2} - a ^{2}} = - 1$ 、すなわち $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = a^{2} + b^{2}$ が得られます。逆にこの式が成り立つと $\frac{γ}{α} = - 1 < 0$ なので $α γ < 0$ となり、判別式 $β^{2} - 4 α γ > 0$ が自動的に成り立ちます。よって傾きの積が $- 1$ の接線が確かに 2 本引けます。 $x_{0} = \pm a$ のときは、接線の一方が $x = \pm a$ （ $y$ 軸に平行）で、他方が $x$ 軸に平行な $y = \pm b$ のときだけ直交します。そのときの点 $(\pm a, \pm b)$ も $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ を満たします。以上から、軌跡は円 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 全体です。

手順

接点を結ぶ直線を求めるときは、接線の公式の $(x_{1}, y_{1})$ を外の点 $(x_{0}, y_{0})$ に置きかえた式を書く：楕円なら $\frac{x _{0} x}{a ^{2}} + \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1$ 、放物線 $y^{2} = 4 p x$ なら $y_{0} y = 2 p (x + x_{0})$
直交する接線を扱うときは、傾き $m$ の接線を $y = m x + n$ 、接する条件を $n^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}$ と置く
点 $(x_{0}, y_{0})$ を通る条件 $n = y_{0} - m x_{0}$ を代入し、 $m$ の 2 次方程式 $(x_{0}^{2} - a^{2}) m^{2} - 2 x_{0} y_{0} m + (y_{0}^{2} - b^{2}) = 0$ を作る（ $x_{0} \neq = \pm a$ のとき）
2 つの傾きの積 $m_{1} m_{2} = \frac{y _{0}^{2} - b ^{2}}{x _{0}^{2} - a ^{2}}$ を $- 1$ とおき、 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = a^{2} + b^{2}$ を得る。 $x_{0} = \pm a$ の場合（点 $(\pm a, \pm b)$ ）も別に確かめる
結論として、2 接線が直交する点は円 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 上にある。具体的な点の条件は、この円の式に代入して求める

例題

楕円 $\frac{x ^{2}}{5} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ の外の点 $P (t, 1)$ （ $t > 0$ ）から楕円に引いた 2 本の接線が直交するとき、 $t$ の値を求めよ。

例題の解答

$a^{2} = 5$ , $b^{2} = 4$ である。

（手順 2）傾き $m$ の接線を $y = m x + n$ とおくと、接する条件は $n^{2} = 5 m^{2} + 4$ である。

（手順 3）P を通るので $n = 1 - m t$ である。代入すると $(1 - m t)^{2} = 5 m^{2} + 4$ 、整理して $(t^{2} - 5) m^{2} - 2 t m - 3 = 0$ となる。

（手順 4） $t^{2} = 5$ のとき、 $t = 5$ では接線の一方が $x = 5$ になる。直交するにはもう一方が $y = \pm 2$ でなければならないが、これらは P $(5, 1)$ を通らないので不適である。よって $t^{2} \neq = 5$ である。このとき 2 つの傾きの積は $\frac{- 3}{t ^{2} - 5}$ で、これが $- 1$ なので $t^{2} - 5 = 3$ 、すなわち $t^{2} = 8$ となる（これは $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = a^{2} + b^{2}$ 、つまり $t^{2} + 1 = 9$ と同じ式である）。

（手順 5） $t > 0$ より $t = 22$ である。確認すると、 $\frac{8}{5} + \frac{1}{4} > 1$ なので P は楕円の外にある。また方程式は $3 m^{2} - 42 m - 3 = 0$ となり、判別式は $32 + 36 > 0$ なので 2 本の接線があり、傾きの積は $- 1$ である。

答え: $22$

よくある誤り

$\frac{x _{0} x}{a ^{2}} + \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1$ を「P を通る接線」だと思ってしまう誤り。正しくは、P は楕円上にないので、これは接線ではなく 2 つの接点を結ぶ直線である。例えば $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ と P $(2, 1)$ では、この式は $\frac{x}{2} + y = 1$ で、接点 $(2, 0)$ , $(0, 1)$ を通る直線になる。
接する条件を $n = a^{2} m^{2} + b^{2}$ だけにしてしまう誤り。正しくは $n^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}$ 、つまり $n = \pm a^{2} m^{2} + b^{2}$ である。 $n$ が負の接線も含めるため、2 乗の形のまま P の座標を代入する。
傾きの積を $- \frac{y _{0}^{2} - b ^{2}}{x _{0}^{2} - a ^{2}}$ のように符号を誤る、または和と取り違える誤り。正しくは、 $α m^{2} + β m + γ = 0$ の 2 解の積は $\frac{γ}{α}$ なので、 $m_{1} m_{2} = \frac{y _{0}^{2} - b ^{2}}{x _{0}^{2} - a ^{2}}$ である。
$x_{0}^{2} - a^{2}$ で割る形にしたため、 $x_{0} = \pm a$ の点を軌跡から除いてしまう誤り。正しくは、点 $(\pm a, \pm b)$ では接線 $x = \pm a$ と $y = \pm b$ が直交するので、これらも含めて軌跡は円 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 全体になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

接点を結ぶ直線と直交する 2 接線

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題