平面上の曲線の問題

手順 1：2 接線が直交する点の条件を求める

$\mathrm{P}$ を通る接線が $x$ 軸に垂直になるのは $x=\pm 4$ のときだけです。$p=\pm 4$ とすると、もう 1 本の接線は $y=\pm 3$ のどちらかになり、$y$ 座標が $4$ の $\mathrm{P}$ を通りません。よって $p\ne \pm 4$ であり、2 本の接線はどちらも傾きをもちます。

傾き $m$ の直線 $y=mx+n$ が $C$ に接する条件を求めます。$9x^2+16y^2=144$ に代入すると
$$9x^2+16(mx+n{)}^2=144$$
$$(16m^2+9)x^2+32mnx+16n^2-144=0$$
判別式を $D$ とすると
$$\frac{D}{4}=256m^2{n}^2-(16m^2+9)(16n^2-144)=144(16m^2+9-n^2)$$
接する条件は $D=0$ なので $n^2=16m^2+9$ です。

この接線が $\mathrm{P}(p,4)$ を通るとき $n=4-mp$ なので
$$(4-mp{)}^2=16m^2+9$$
$$(p^2-16)m^2-8pm+7=0$$
2 本の接線の傾き $m_1,m_2$ はこの 2 次方程式の 2 つの解です。直交する条件は $m_1{m}_2=-1$ なので、解と係数の関係より
$$\frac{7}{p^2-16}=-1$$
$$p^2=9$$
$p>0$ より $p=3$ です。（一般に、2 接線が直交する点は円 $x^2+y^2=16+9=25$ 上にあり、実際 $3^2+4^2=25$ を満たしています。）

手順 2：接点を結ぶ直線を求める

$\mathrm{A}(x_1,y_1)$ における $C$ の接線は $\frac{x_{1}x}{16}+\frac{y_{1}y}{9}=1$ です。これが $\mathrm{P}(3,4)$ を通るので
$$\frac{3x_1}{16}+\frac{4y_1}{9}=1$$
同様に $\mathrm{B}(x_2,y_2)$ についても
$$\frac{3x_2}{16}+\frac{4y_2}{9}=1$$
が成り立ちます。これらは、直線 $\frac{3x}{16}+\frac{4y}{9}=1$ が 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ を通ることを表しています。異なる 2 点を通る直線はただ 1 つなので、直線 $\mathrm{AB}$ は
$$\frac{3x}{16}+\frac{4y}{9}=1$$
です。

手順 3：$y=(x\text{ の式})$ の形にする

$$\frac{4y}{9}=1-\frac{3x}{16}$$
両辺に $\frac{9}{4}$ を掛けて
$$y=-\frac{27}{64}x+\frac{9}{4}$$

直交する 2 接線の交点は準円 $x^2+y^2=16+9=25$ 上にある。$\mathrm{P}(p,4)$ について $p^2+16=25$ より $p^2=9$、$p>0$ なので $p=3$、すなわち $\mathrm{P}(3,4)$。

$\mathrm{P}$ は $C$ の外部にある。実際 $\frac{9}{16}+\frac{16}{9}>1$ である。

2 つの接点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ を結ぶ直線は $\mathrm{P}$ の極線で、$\frac{3x}{16}+\frac{4y}{9}=1$ となる。

これを $y$ について解くと $\frac{4y}{9}=1-\frac{3x}{16}$ より $y=\frac{9}{4}-\frac{27}{64}x$。

検算: 接点を $(x_1,y_1)$ とすると接線は $\frac{x_{1}x}{16}+\frac{y_{1}y}{9}=1$ で、$\mathrm{P}$ を通るので $\frac{3x_1}{16}+\frac{4y_1}{9}=1$ を満たす。これは 2 接点とも同じ直線上にあることを示している。