平面上の曲線の問題

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ に対して、直交する 2 接線が引ける点は円 $x^2+y^2=a^2+b^2$ 上にあります。ここではこの事実を、接線の傾きを使って確かめながら解きます。

手順 1：P を通る接線を傾き $m$ で表す

$\mathrm{P}$ の $x$ 座標は $2$ で、$2\ne \pm \sqrt{5}$ です。$C$ の接線のうち $x$ 軸に垂直なものは $x=\pm \sqrt{5}$ だけなので、$\mathrm{P}$ を通る接線は $x$ 軸に垂直ではありません。よって、$\mathrm{P}$ を通る接線は傾き $m$ を用いて
$$y=m(x-2)+t$$
と表せます。$k=t-2m$ とおくと $y=mx+k$ です。

手順 2：接する条件（判別式 $=0$）

$C$ の式の両辺に $20$ を掛けると $4x^2+5y^2=20$ です。これに $y=mx+k$ を代入して整理すると
$$(5m^2+4)x^2+10mkx+5k^2-20=0$$
となります。$5m^2+4>0$ なので、これは $x$ の 2 次方程式です。直線が $C$ に接する条件は、この方程式が重解をもつこと、すなわち判別式 $D=0$ です。
$$\frac{D}{4}=25m^2{k}^2-(5m^2+4)(5k^2-20)$$
右辺を展開すると
$$25m^2{k}^2-(25m^2{k}^2-100m^2+20k^2-80)=100m^2-20k^2+80$$
です。よって $D=0$ より
$$k^2=5m^2+4$$
が得られます。

手順 3：$m$ の 2 次方程式をつくる

$k=t-2m$ を代入すると
$$(t-2m{)}^2=5m^2+4$$
$$t^2-4tm+4m^2=5m^2+4$$
$$m^2+4tm+4-t^2=0(1)$$
となります。$\mathrm{P}$ から引いた 2 本の接線の傾き $m_1,m_2$ は、$(1)$ の 2 つの実数解です。

手順 4：直交条件 $m_1{m}_2=-1$ を使う

解と係数の関係より $m_1{m}_2=4-t^2$ です。2 本の接線が直交する条件は $m_1{m}_2=-1$ なので
$$4-t^2=-1$$
$$t^2=5$$
となります。$t>0$ より $t=\sqrt{5}$ です。

確認

$t^2=5$ のとき、$(1)$ の判別式は $16t^2-4(4-t^2)=80-4\cdot (-1)=84>0$ です。したがって $(1)$ は異なる 2 つの実数解をもち、確かに接線は 2 本引けます。

なお、$m_1{m}_2=-1$ は $2^2+t^2=9$ と同じ条件です。$a^2+b^2=5+4=9$ なので、これは $\mathrm{P}$ が円 $x^2+y^2=a^2+b^2$ 上にあるという性質と一致しています。

答え：$t=\sqrt{5}$

P(2, t) を通る接線を、傾き $m$ を用いて $y=m(x-2)+t$ とおく。(x=2 は C に接しない。C の縦の接線は $x=\pm \sqrt{5}$ なので、P を通る縦の接線は存在しない。)

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ に直線 $y=mx+n$ が接する条件は $n^2=a^2{m}^2+b^2$ である。ここでは $a^2=5,b^2=4,n=t-2m$ なので
$(t-2m{)}^2=5m^2+4$
整理して
$m^2+4tm+4-t^2=0$

2本の接線が引けるには、この $m$ の2次方程式が異なる2実数解をもてばよい。判別式は $16t^2-4(4-t^2)=20t^2-16>0$ である。

2本の接線が直交する条件は、傾きの積が $-1$ となることである。解と係数の関係より傾きの積は $4-t^2$ なので
$4-t^2=-1$
$t^2=5$
$t>0$ より $t=\sqrt{5}$。

検算：$t=\sqrt{5}$ のとき $20t^2-16=84>0$ で条件を満たす。また $4+t^2=9$ となり、点 P は準円（直交する接線の交点の軌跡）$x^2+y^2=a^2+b^2=9$ 上にあるので、結果は一致する。