平面上の曲線の問題

焦点を求める

$a^2=16,b^2=7$ より $a=4$ である。焦点の $x$ 座標は
$$\pm \sqrt{a^2-b^2}=\pm \sqrt{16-7}=\pm 3$$
なので、$\mathrm{F}(3,0)$, ${\mathrm{F}}^{\prime }(-3,0)$ である。よって $\mathrm{F}{\mathrm{F}}^{\prime }=6$ である。

楕円の性質で $\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }$ を求める

楕円上の点 $\mathrm{P}$ について、2 つの焦点からの距離の和は長軸の長さ $2a$ に等しい。
$$\mathrm{PF}+\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=2a=8$$
$\mathrm{PF}=3$ より $\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=8-3=5$ である。

余弦定理を使う

$△\mathrm{PF}{\mathrm{F}}^{\prime }$ の 3 辺は $\mathrm{PF}=3$, $\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=5$, $\mathrm{F}{\mathrm{F}}^{\prime }=6$ である。余弦定理より
$$\cos \angle \mathrm{FP}{\mathrm{F}}^{\prime }=\frac{{\mathrm{PF}}^2+{\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }}^2-{\mathrm{F}{\mathrm{F}}^{\prime }}^2}{2\cdot \mathrm{PF}\cdot \mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }}=\frac{9+25-36}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac{-2}{30}=-\frac{1}{15}$$

（参考：$\mathrm{PF}=3$ となる点は、たとえば $\mathrm{P}\left(\frac{4}{3},\frac{2\sqrt{14}}{3}\right)$ であり、実際に存在する。）

したがって、$\cos \angle \mathrm{FP}{\mathrm{F}}^{\prime }=-\frac{1}{15}$ である。

楕円 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$ で $a=4$, $b^2=7$ より $c=\sqrt{16-7}=3$。焦点は F(3,0), F'(-3,0) なので FF'=6。
楕円の性質より PF+PF'=2a=8。PF=3 より PF'=5。
$△\mathrm{PF}{\mathrm{F}}^{\prime }$ で余弦定理を用いると、
$\cos \angle \mathrm{FP}{\mathrm{F}}^{\prime }=\frac{P{F}^2+P{F}^{\prime 2}-F{F}^{\prime 2}}{2\cdot PF\cdot P{F}^{\prime }}=\frac{9+25-36}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac{-2}{30}=-\frac{1}{15}$。
検算：PF=3 のとき、焦点距離の公式 PF=a-ex=4-\frac{3}{4}x より x=4/3。y^2=7(1-\frac{1}{9})=\frac{56}{9}。P(4/3, y) とすると PF'^2=(13/3)^2+56/9=(169+56)/9=25 で PF'=5 となり整合する。ベクトル PF=(5/3,-y), PF'=(-13/3,-y) の内積=-65/9+56/9=-1。cos=-1/(3·5)=-1/15。これも一致する。
なお PF=3 となる点は x=4/3 の 2 点（y の符号が異なる）で、どちらも同じ値になる。