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焦点からの距離と三角形

楕円の $PF+P{F}^{\prime }=2a$、双曲線の $|PF-P{F}^{\prime }|=2a$ を使って、曲線上の点と焦点の距離を求め、余弦定理で $\cos \angle FP{F}^{\prime }$ や $△PF{F}^{\prime }$ の面積を求められる

前提

• 双曲線の方程式と焦点・漸近線 （数学C 平面上の曲線）
• 正弦定理・余弦定理と三角形の面積 （数学I 図形と計量）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 曲線の種類を見分け、焦点と $F{F}^{\prime }=2c$ を求める。楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ は、$a>b$ なら焦点 $(\pm c,0)$・$c=\sqrt{a^2-b^2}$、$b>a$ なら焦点 $(0,\pm c)$・$c=\sqrt{b^2-a^2}$。双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ は焦点 $(\pm c,0)$・$c=\sqrt{a^2+b^2}$（$a,b$ は正の数）。

2. 定義の式を書く。楕円は $PF+P{F}^{\prime }=$（長軸の長さ）で、$a>b$ なら $2a$、$b>a$ なら $2b$。双曲線は $|PF-P{F}^{\prime }|=2a$、すなわち $PF-P{F}^{\prime }=\pm 2a$。

3. 与えられた条件から $P{F}^{\prime }$ を求める。双曲線では候補が 2 つ出るので、距離が正か、$P$ がどちらの枝にあるか（$P$ は自分の枝の側の焦点に近い）で確かめる。

4. 三角形ができるか確かめる。3 辺 $PF,P{F}^{\prime },2c$ について、どの 2 辺の和も残りの 1 辺より大きいことを調べる。等号が成り立てば $P$ は直線 $F{F}^{\prime }$ 上（頂点）にあり、三角形はできない。

5. 余弦定理で $\cos \angle FP{F}^{\prime }=\frac{P{F}^2+P{F}^{\prime 2}-(2c{)}^2}{2\cdot PF\cdot P{F}^{\prime }}$ を計算する。

6. 面積が必要なら、$\sin \angle FP{F}^{\prime }=\sqrt{1-{\cos }^2\angle FP{F}^{\prime }}$ を求め（$0^{\circ }<\angle FP{F}^{\prime }<180^{\circ }$ なので正の値をとる）、$S=\frac{1}{2}\cdot PF\cdot P{F}^{\prime }\sin \angle FP{F}^{\prime }$ を計算する。

例題

よくある誤り

• 楕円の距離の和を $PF+P{F}^{\prime }=a$ としてしまう誤り。正しくは長軸の長さで、$a>b$ なら $PF+P{F}^{\prime }=2a$。例題では $10$ であり、$5$ ではない。

• 焦点間の距離を $F{F}^{\prime }=c$ としてしまう誤り。正しくは焦点が $(\pm c,0)$ なので $F{F}^{\prime }=2c$。例題では $F{F}^{\prime }=8$ であり、$4$ ではない。

• $b>a$ の楕円でも $x^2$ の分母を使ってしまう誤り。たとえば $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$ で $PF+P{F}^{\prime }=8$ とするのは誤りである。正しくは焦点が $y$ 軸上の $(0,\pm 3)$（$c=\sqrt{25-16}=3$）で、$PF+P{F}^{\prime }=2\cdot 5=10$、$F{F}^{\prime }=6$ となる。なお双曲線では $c=\sqrt{a^2+b^2}$ で、楕円とは符号が違うことにも注意する。

• 双曲線で $P{F}^{\prime }=PF+2a$ の 1 通りだけを考えてしまう誤り。たとえば $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$（$a=3,c=5$）、$F(5,0),F^{\prime }(-5,0)$ で、$P$ が $x<0$ の枝にあり $PF=10$ の場合を考える。ここで $P{F}^{\prime }=16$ とするのは誤りである。$x<0$ の枝の点は $F^{\prime }$ に近いので $PF-P{F}^{\prime }=6$ となり、正しくは $P{F}^{\prime }=4$。このとき $\cos \angle FP{F}^{\prime }=\frac{10^2+4^2-10^2}{2\cdot 10\cdot 4}=\frac{1}{5}$ となるが、$P{F}^{\prime }=16$ を使うと $\frac{10^2+16^2-10^2}{2\cdot 10\cdot 16}=\frac{4}{5}$ となり、答えが変わってしまう。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  楕円 $$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$$ の 2 つの焦点のうち、$x$ 座標が正のものを $\mathrm{F}$、負のものを ${\mathrm{F}}^{\prime }$ とする。この楕円上の点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{PF}=3$ を満たすとき、$\cos \angle \mathrm{FP}{\mathrm{F}}^{\prime }$ の値を求めよ。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  楕円 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$ の $2$ つの焦点のうち、$x$ 座標が正のものを $\mathrm{F}$、負のものを ${\mathrm{F}}^{\prime }$ とする。この楕円上の点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{PF}=2$ を満たすとき、$\cos \angle \mathrm{FP}{\mathrm{F}}^{\prime }$ の値を求めよ。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  楕円 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$ の 2 つの焦点のうち、$x$ 座標が正のものを $\mathrm{F}$、負のものを ${\mathrm{F}}^{\prime }$ とする。この楕円上の点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{PF}=3$ を満たすとき、$\cos \angle \mathrm{FP}{\mathrm{F}}^{\prime }$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  双曲線 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ と焦点が一致し、点 $\left(3,\frac{16}{5}\right)$ を通る楕円がある。この楕円の長軸の長さと短軸の長さを、この順に求めよ。

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  楕円 $C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ の 2 つの焦点のうち、$x$ 座標が正のものを $\mathrm{F}$、負のものを ${\mathrm{F}}^{\prime }$ とする。また、原点を頂点とし $\mathrm{F}$ を焦点とする放物線を $D$ とする。$C$ と $D$ の共有点のうち $y$ 座標が正であるものを $\mathrm{P}$ とするとき、線分 $\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }$ の長さを求めよ。

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  $a>b>0$ とする。楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ は、双曲線 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ と焦点が一致し、さらに点 $\left(3,\frac{16}{5}\right)$ を通る。このとき、$a,b$ の値を求め、組 $(a,b)$ の形で答えよ。

• 難易度 3（共通テストレベル）

  楕円 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ の 2 つの焦点を $F$, $F^{\prime }$ とする。ただし、$F$ の $x$ 座標は正とする。

  $2$ 点 $F$, $F^{\prime }$ を焦点とし、漸近線が $2$ 直線 $y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x$ である双曲線を $H$ とする。楕円と双曲線 $H$ の交点のうち、第 1 象限にあるものを $P$ とするとき、$\cos \angle FP{F}^{\prime }$ の値を求めよ。

• 難易度 3（共通テストレベル）

  $a>0$, $b>0$ とする。双曲線 $$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ の焦点は $\mathrm{F}(5,0)$, ${\mathrm{F}}^{\prime }(-5,0)$ である。$C$ 上の第 $1$ 象限にある点 $\mathrm{P}$ が $\angle \mathrm{FP}{\mathrm{F}}^{\prime }=90^{\circ }$ を満たし、$△\mathrm{PF}{\mathrm{F}}^{\prime }$ の面積は $9$ である。$C$ の $2$ 本の漸近線のうち、傾きが正であるものの傾きを求めよ。

• 難易度 3（共通テストレベル）

  $a>0$, $b>0$ とし、座標平面上の双曲線 $$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ の焦点が $\mathrm{F}(5,0)$, ${\mathrm{F}}^{\prime }(-5,0)$ であるとする。$C$ 上の第 1 象限にある点 $\mathrm{P}$ が $\angle {\mathrm{F}}^{\prime }\mathrm{PF}=90^{\circ }$ を満たし、さらに $△\mathrm{PF}{\mathrm{F}}^{\prime }$ の面積が $9$ であるとする。このとき、点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。

• 難易度 4（国公立二次の標準レベル）

  楕円 $$C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$$ の焦点のうち、$x$ 座標が正であるものを $\mathrm{F}$ とする。$C$ 上の $5$ 点 ${\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,{\mathrm{P}}_3,{\mathrm{P}}_4,{\mathrm{P}}_5$ が、$\mathrm{F}$ のまわりに反時計回りにこの順に並び、 $$\angle {\mathrm{P}}_1\mathrm{F}{\mathrm{P}}_2=\angle {\mathrm{P}}_2\mathrm{F}{\mathrm{P}}_3=\angle {\mathrm{P}}_3\mathrm{F}{\mathrm{P}}_4=\angle {\mathrm{P}}_4\mathrm{F}{\mathrm{P}}_5=\angle {\mathrm{P}}_5\mathrm{F}{\mathrm{P}}_1=\frac{2\pi }{5}$$ を満たしている。このとき $$\sum _{k=1}^5\frac{1}{{\mathrm{FP}}_k^2}$$ の値を求めよ。