平面上の曲線の問題

焦点が $(\pm 5,0)$ なので
$$a^2+b^2=25(1)$$
である。

点 $\mathrm{P}$ は第 $1$ 象限にあるので、$\mathrm{F}$ の方が ${\mathrm{F}}^{\prime }$ より $\mathrm{P}$ に近い。双曲線の定義より
$$\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }-\mathrm{PF}=2a(2)$$
である。

$\angle \mathrm{FP}{\mathrm{F}}^{\prime }=90^{\circ }$ より、三平方の定理から
$${\mathrm{PF}}^2+{\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }}^2={\mathrm{F}{\mathrm{F}}^{\prime }}^2=10^2=100(3)$$
が成り立つ。

また、$△\mathrm{PF}{\mathrm{F}}^{\prime }$ は $\mathrm{P}$ を直角の頂点とする直角三角形なので、面積について
$$\frac{1}{2}\mathrm{PF}\cdot \mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=9\text{すなわち}\mathrm{PF}\cdot \mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=18(4)$$
が成り立つ。

$(2)$ を $2$ 乗し、$(3)$, $(4)$ を用いると
$$4a^2=(\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }-\mathrm{PF}{)}^2={\mathrm{PF}}^2+{\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }}^2-2\mathrm{PF}\cdot \mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=100-36=64$$
となる。よって $a^2=16$ であり、$a>0$ より $a=4$ である。

$(1)$ より $b^2=25-16=9$ であり、$b>0$ より $b=3$ である。

(このとき $\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }-\mathrm{PF}=8$, $\mathrm{PF}\cdot \mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=18$ から $\mathrm{PF}=-4+\sqrt{34}>0$ となる。実際に条件を満たす点 $\mathrm{P}\left(\frac{4\sqrt{34}}{5},\frac{9}{5}\right)$ が存在する。)

双曲線 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ の漸近線は $y=\pm \frac{3}{4}x$ である。したがって、傾きが正である漸近線の傾きは $\frac{3}{4}$ である。

$\mathrm{PF}=d_1,\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=d_2$ とおく。$C$ の焦点は $(\pm 5,0)$ なので $a^2+b^2=25$。

$\mathrm{P}$ は双曲線上の点なので $|d_1-d_2|=2a$。

$\angle \mathrm{FP}{\mathrm{F}}^{\prime }=90^{\circ }$ より、三平方の定理から $d_1^2+d_2^2={\mathrm{F}{\mathrm{F}}^{\prime }}^2=10^2=100$。

よって $(d_1-d_2{)}^2=d_1^2+d_2^2-2d_1{d}_2$ より $4a^2=100-2d_1{d}_2$。

面積は $\frac{1}{2}{d}_1{d}_2=9$ なので $d_1{d}_2=18$。したがって $4a^2=100-36=64$、$a^2=16$。

このとき $b^2=25-16=9$、$a=4$、$b=3$。

漸近線は $y=\pm \frac{b}{a}x$ なので、傾きが正のものの傾きは $\frac{3}{4}$。

検算：$d_1-d_2=\pm 8$、$d_1{d}_2=18$ のとき $d_1^2+d_2^2=64+36=100$ となり、直角の条件と一致する。このとき $\mathrm{P}$ の座標は $y=\frac{2\cdot 9}{10}=\frac{9}{5}$、$x^2=16\left(1+\frac{81/25}{9}\right)=16\cdot \frac{34}{25}$ となり、第 1 象限に存在する。