平面上の曲線の問題

双曲線の焦点

双曲線 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ の焦点は $(\pm c,0)$ で、
$$c^2=4+5=9$$
より $c=3$ である。したがって焦点は $\mathrm{F}(3,0)$、${\mathrm{F}}^{\prime }(-3,0)$ である。

楕円の定義を使う

$a>b>0$ より、楕円の焦点は $x$ 軸上の $(\pm \sqrt{a^2-b^2},0)$ である。これが $\mathrm{F},{\mathrm{F}}^{\prime }$ と一致するので
$$a^2-b^2=9(1)$$
が成り立つ。

楕円上の点から 2 つの焦点までの距離の和は $2a$ である。点 $\mathrm{P}\left(3,\frac{16}{5}\right)$ について、それぞれの距離を求める。
$$\mathrm{PF}=\sqrt{(3-3{)}^2+{\left(\frac{16}{5}\right)}^2}=\frac{16}{5}$$
$$\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=\sqrt{(3+3{)}^2+{\left(\frac{16}{5}\right)}^2}=\sqrt{36+\frac{256}{25}}=\sqrt{\frac{1156}{25}}=\frac{34}{5}$$
よって
$$2a=\frac{16}{5}+\frac{34}{5}=10$$
となり、$a=5$ である。

$(1)$ に代入すると $b^2=25-9=16$ となる。$b>0$ より $b=4$ である。

確認

$\frac{3^2}{25}+\frac{(16/5{)}^2}{16}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ となるので、楕円は点 $\mathrm{P}$ を通る。また $a>b>0$ も満たしている。

別解（代入による方法）

$b^2=t$ とおくと、$(1)$ より $a^2=t+9$ である。点 $\mathrm{P}$ を楕円の方程式に代入すると
$$\frac{9}{t+9}+\frac{256}{25t}=1$$
両辺に $25t(t+9)$ を掛けて整理すると
$$25t^2-256t-2304=0$$
$(25t+144)(t-16)=0$ と $t>0$ から $t=16$ となり、同じ結果が得られる。

よって $(a,b)=(5,4)$ である。

双曲線 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ の焦点は $(\pm \sqrt{4+5},0)=(\pm 3,0)$ である。楕円の焦点も $(\pm 3,0)$ なので、$a>b>0$ より $a^2-b^2=9$ …①。
点 $(3,\frac{16}{5})$ を通るから $\frac{9}{a^2}+\frac{256}{25b^2}=1$ …②。
$A=a^2$ とおくと $b^2=A-9$（$A>9$）。②に代入して $\frac{9}{A}+\frac{256}{25(A-9)}=1$。
両辺に $25A(A-9)$ を掛けて $225(A-9)+256A=25A(A-9)$、すなわち $25A^2-706A+2025=0$。
判別式は $706^2-4\cdot 25\cdot 2025=295936=544^2$ なので $A=\frac{706\pm 544}{50}$、$A=25$ または $A=\frac{81}{25}$。
$A>9$ より $A=25$。よって $a=5$、$b^2=16$ より $b=4$。
検算：$\frac{9}{25}+\frac{256/25}{16}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ で成り立つ。また $25-16=9$ で焦点も一致する。