平面上の曲線の問題

1. 焦点 F を極とした楕円の方程式

$a^2=4,b^2=3$ より $\sqrt{a^2-b^2}=1$ なので $\mathrm{F}(1,0)$、もう一方の焦点は ${\mathrm{F}}^{\prime }(-1,0)$ である。

$C$ 上の点 $\mathrm{P}(x,y)$ について、$\mathrm{FP}=r$ とし、半直線 $\mathrm{FP}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とすると、$x=1+r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ である。

$\mathrm{FP}+{\mathrm{F}}^{\prime }\mathrm{P}=2a=4$ より ${\mathrm{F}}^{\prime }\mathrm{P}=4-r$。${{\mathrm{F}}^{\prime }\mathrm{P}}^2=(x+1{)}^2+y^2$ に代入すると
$$(4-r{)}^2=(2+r\cos \theta {)}^2+r^2{\sin }^2\theta =4+4r\cos \theta +r^2$$
$$16-8r=4+4r\cos \theta \therefore r=\frac{3}{2+\cos \theta }$$
よって
$$\frac{1}{{\mathrm{FP}}^2}=\frac{(2+\cos \theta {)}^2}{9}=\frac{4+4\cos \theta +{\cos }^2\theta }{9}=\frac{1}{9}\left(\frac{9}{2}+4\cos \theta +\frac{1}{2}\cos 2\theta \right)$$

2. 5 点の方向

$\mathrm{F}$ は $C$ の内部にあるので、$\mathrm{F}$ から出る各半直線は $C$ とちょうど 1 点で交わる。条件より、半直線 ${\mathrm{FP}}_k$ の向きは ${\theta }_k=\alpha +\frac{2(k-1)\pi }{5}(k=1,\dots ,5)$（$\alpha$ はある実数）と表せる。

$$\sum _{k=1}^5\frac{1}{{\mathrm{FP}}_k^2}=\frac{1}{9}\left(\frac{45}{2}+4\sum _{k=1}^5\cos {\theta }_k+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^5\cos 2{\theta }_k\right)$$

3. 余弦の和が 0 になること

任意の実数 $\beta$ に対し $T=\sum _{k=0}^4\cos \left(\beta +\frac{2k\pi }{5}\right)$ とおく。積和の公式 $2\sin A\cos B=\sin (A+B)-\sin (B-A)$ を使うと
$$2\sin \frac{\pi }{5}\cdot T=\sum _{k=0}^4\left\{\sin \left(\beta +\frac{(2k+1)\pi }{5}\right)-\sin \left(\beta +\frac{(2k-1)\pi }{5}\right)\right\}=\sin \left(\beta +\frac{9\pi }{5}\right)-\sin \left(\beta -\frac{\pi }{5}\right)=0$$
$\sin \frac{\pi }{5}\ne 0$ より $T=0$。よって $\sum \cos {\theta }_k=0$。

また $2{\theta }_k=2\alpha +\frac{4(k-1)\pi }{5}$ であり、$k=1,\dots ,5$ のとき $4(k-1)$ を $10$ で割った余りは $0,4,8,2,6$ となるので、$2{\theta }_k$ は $2\pi$ の整数倍の違いを除いて $2\alpha +\frac{2j\pi }{5}(j=0,\dots ,4)$ を並べかえたものである。したがって $\sum \cos 2{\theta }_k=0$。

4. 結論

$$\sum _{k=1}^5\frac{1}{{\mathrm{FP}}_k^2}=\frac{1}{9}\cdot \frac{45}{2}=\frac{5}{2}$$
（5 点の位置、すなわち $\alpha$ によらず一定である。）

$a=2,b=\sqrt{3},c=\sqrt{4-3}=1$ より、焦点は $(\pm 1,0)$ で $\mathrm{F}=(1,0)$。離心率 $e=\frac{1}{2}$。
$\mathrm{F}$ から見た偏角 $\theta$ の方向の楕円上の点を $\mathrm{P}$、$\mathrm{FP}=r$ とおくと $\mathrm{P}=(1+r\cos \theta ,r\sin \theta )$。楕円の式に代入して
$\frac{(1+r\cos \theta {)}^2}{4}+\frac{r^2{\sin }^2\theta }{3}=1$。
両辺に 12 をかけて $3(1+2r\cos \theta +r^2{\cos }^2\theta )+4r^2{\sin }^2\theta =12$。
$r^2(3{\cos }^2\theta +4{\sin }^2\theta )+6r\cos \theta -9=0$。$3{\cos }^2\theta +4{\sin }^2\theta =4-{\cos }^2\theta =(2-\cos \theta )(2+\cos \theta )$ であり、$r>0$ の解は $r=\frac{3}{2+\cos \theta }$ である（確認: $(4-{\cos }^2\theta )\cdot \frac{9}{(2+\cos \theta {)}^2}+\frac{18\cos \theta }{2+\cos \theta }-9=\frac{9(2-\cos \theta )+18\cos \theta -9(2+\cos \theta )}{2+\cos \theta }=0$）。
よって $\frac{1}{r}=\frac{2+\cos \theta }{3}$、$\frac{1}{r^2}=\frac{4+4\cos \theta +{\cos }^2\theta }{9}$。
5 点の偏角は ${\theta }_k={\theta }_0+\frac{2\pi k}{5}(k=1,\dots ,5)$。
${\sum }_{k=1}^5\cos {\theta }_k=0$（5 次の単位根の和が 0）。
$\sum {\cos }^2{\theta }_k=\sum \frac{1+\cos 2{\theta }_k}{2}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\sum \cos (2{\theta }_0+\frac{4\pi k}{5})=\frac{5}{2}$（$\frac{4\pi }{5}$ ずつ回転する 5 点の和も 0）。
ゆえに $\sum \frac{1}{{\mathrm{FP}}_k^2}=\frac{1}{9}\left(4\cdot 5+4\cdot 0+\frac{5}{2}\right)=\frac{1}{9}\cdot \frac{45}{2}=\frac{5}{2}$。
検算: ${\theta }_0=\frac{\pi }{2}$ 付近でなく具体例として、一般に $\frac{1}{r}$ の平均が $\frac{2}{3}$、$\frac{1}{r^2}$ の平均は $\frac{4+1/2}{9}=\frac{1}{2}$ で、5 倍して $\frac{5}{2}$ となり一致する。