2 次曲線の極方程式

焦点を極とした 2 次曲線の極方程式 $r = \frac{e d}{1 + e cos θ}$ を導き、極方程式から離心率を読み取って曲線の種類を判定し、直交座標の方程式に直せる

前提

極方程式（数学C 平面上の曲線）
離心率と準線（数学C 平面上の曲線）

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算数中学高校大学大学院

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離心率と準線（数学C 平面上の曲線）

説明

焦点を極（原点）にとると、楕円・放物線・双曲線はどれも $r = \frac{e d}{1 + e cos θ}$ という 1 つの形の極方程式で表せます。この形にすれば、分母から離心率 $e$ を読み取るだけで曲線の種類がわかります。さらに $x = r cos θ$ 、 $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ を使って直交座標の方程式に直せば、中心や焦点などの位置も求められます。

なぜそうしてよいのか

「離心率と準線」で学んだように、2 次曲線は、定点 F（焦点）と定直線 $ℓ$ （準線）からの距離の比 $P F : P H = e$ が一定な点 P の軌跡です（H は P から $ℓ$ に下ろした垂線の足）。焦点 F を極 O にとり、準線を $ℓ : x = d (d > 0)$ とします。曲線上の点 P の極座標を $(r, θ) (r > 0)$ とすると、P の $x$ 座標は $r cos θ$ なので、 $P F = r$ 、 $P H = ∣ d - r cos θ ∣$ です。

準線に対して焦点と同じ側（ $x < d$ ）では $P H = d - r cos θ$ なので、条件 $P F = e \cdot P H$ は $r = e (d - r cos θ)$ となります。これを $r$ について解くと $r (1 + e cos θ) = e d$ より $r = \frac{e d}{1 + e cos θ}$ が得られます。楕円（ $0 < e < 1$ ）と放物線（ $e = 1$ ）では、曲線全体がこちら側にあります。なぜなら、反対側（ $x > d$ ）に点があるとすると、条件は $r = e (r cos θ - d)$ 、つまり $r (e cos θ - 1) = e d > 0$ となります。ところが $e \leq 1$ なので $e cos θ - 1 \leq 0$ で、左辺は $0$ 以下です。これは矛盾です。実際、上の式から $d - r cos θ = \frac{d}{1 + e cos θ} > 0$ となり、どの点も $x < d$ を満たしています。放物線では $θ = π$ のとき分母が $0$ になり、 $r$ が定まりません。これは、焦点から真左の方向には曲線の点がないことを表しています。

双曲線（ $e > 1$ ）では、 $1 + e cos θ < 0$ となる $θ$ で $r < 0$ になります。 $r < 0$ の点 $(r, θ)$ は「点 $(∣ r ∣, θ + π)$ 」を表すと約束します。すると、この点が準線の反対側にあるもう一方の枝を表します。このときも $x = r cos θ, y = r sin θ$ が成り立ちます。なお、準線を $x = - d$ にとると、同じ計算で $r = \frac{e d}{1 - e cos θ}$ になります。

逆に直交座標へ直すには、 $r (1 + e cos θ) = e d$ を展開して $r = e d - e x$ とし、両辺を 2 乗して $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ を代入します。上の約束で $r < 0$ も認めているので、2 乗しても点の集まりは変わりません。

手順

分子・分母を同じ数で割って分母の定数項を $1$ にし、 $r = \frac{e d}{1 + e cos θ}$ の形にする。 $cos θ$ の係数が離心率 $e$ 、分子が $e d$ である
$e$ の値で種類を判定する。 $0 < e < 1$ なら楕円、 $e = 1$ なら放物線、 $e > 1$ なら双曲線である。極は焦点の 1 つで、準線は $x = d$ である
分母を払い、 $r cos θ = x$ を代入して、 $r$ が（定数倍で）残る形 $r = e d - e x$ にする
両辺を 2 乗し、 $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ を代入して $x^{2} + y^{2} = e^{2} (d - x)^{2}$ とする
展開・整理してから平方完成し、標準形に直す。そこから中心・焦点などを読み取る

例題

極方程式 $r = \frac{6}{2 + cos θ}$ で表される曲線について、離心率を読み取って曲線の種類を判定せよ。さらに直交座標の方程式に直し、この曲線の中心の座標を求めよ。

例題の解答

手順1：分子・分母を $2$ で割ると $r = \frac{3}{1 + \frac{1}{2} cos θ}$ となる。よって $e = \frac{1}{2}$ 、 $e d = 3$ で、 $d = 6$ である。

手順2： $0 < e = \frac{1}{2} < 1$ なので、この曲線は楕円である。極 O が焦点の 1 つで、準線は $x = 6$ である。

手順3：元の式の分母を払うと $2 r + r cos θ = 6$ となる。 $r cos θ = x$ を代入すると $2 r = 6 - x$ である。

手順4：両辺を 2 乗すると $4 r^{2} = (6 - x)^{2}$ となる。 $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ を代入すると、 $4 (x^{2} + y^{2}) = 36 - 12 x + x^{2}$ である。

手順5：整理すると $3 x^{2} + 12 x + 4 y^{2} = 36$ となる。平方完成すると $3 (x + 2)^{2} - 12 + 4 y^{2} = 36$ 、つまり $3 (x + 2)^{2} + 4 y^{2} = 48$ である。両辺を $48$ で割ると $\frac{( x + 2 ) ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{12} = 1$ となる。

確かめ： $a^{2} = 16$ 、 $b^{2} = 12$ より $c = 16 - 12 = 2$ である。焦点は $(- 2 \pm 2, 0)$ 、つまり $(0, 0)$ と $(- 4, 0)$ で、極が焦点になっている。離心率も $\frac{c}{a} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ で一致する。

したがって、曲線は楕円で、中心の座標は $(- 2, 0)$ である。

答え: $(- 2, 0)$

よくある誤り

分母の定数項を $1$ にしないまま、 $cos θ$ の係数を離心率と読んでしまう誤り。 $r = \frac{6}{2 + cos θ}$ を見て $e = 1$ （放物線）とするのは誤りである。正しくは、分子・分母を $2$ で割って $r = \frac{3}{1 + \frac{1}{2} cos θ}$ とし、 $e = \frac{1}{2}$ （楕円）と読む。
$x, y$ の式に直す途中で止めたり、2 乗を雑にしたりする誤り。 $r = x^{2} + y^{2}$ を代入した $2 x^{2} + y^{2} = 6 - x$ のまま、根号が残った形を答えにしてしまう。また、2 乗するときに左辺の係数を 2 乗し忘れて $2 (x^{2} + y^{2}) = (6 - x)^{2}$ としてしまう。正しくは $(2 r)^{2} = 4 r^{2}$ なので、 $4 (x^{2} + y^{2}) = (6 - x)^{2}$ とし、根号のない形にしてから整理する。
極（原点）を楕円や双曲線の中心だと思い込む誤り。 $r = \frac{3}{1 + \frac{1}{2} cos θ}$ の中心を $(0, 0)$ としてしまう。正しくは、極は焦点の 1 つであり、この楕円の中心は $(- 2, 0)$ である。
分母の符号を見落として、準線の位置を取り違える誤り。 $r = \frac{e d}{1 - e cos θ}$ の準線を $x = d$ としてしまう。正しくは、この場合の準線は $x = - d$ である。分母が $1 + e cos θ$ のときだけ、準線は $x = d$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ケプラー問題の軌道（大学物理力学（質点・剛体））