ケプラー問題の軌道

逆 2 乗の引力のもとで、エネルギーと角運動量から軌道の形（楕円・放物線・双曲線）と軌道の式 $r = \frac{l}{1 + e cos φ}$ を決め、近点距離・遠点距離・長半径・周期を求められる

前提

有効ポテンシャルと円軌道の安定性（大学物理力学（質点・剛体））
2 次曲線の極方程式（数学C 平面上の曲線）
楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（高校物理円運動・単振動・万有引力）

この技能までの道筋（140 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
力のモーメント（高校物理力と運動）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）
極座標（数学C 平面上の曲線）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
極座標での運動方程式（大学物理力学（質点・剛体））
角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
保存力とポテンシャル（大学物理力学（質点・剛体））
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
力のつり合いと作用・反作用（中学理科物理分野の用語と知識）
慣性の法則と物体の運動（中学理科物理分野の用語と知識）
等速円運動の速度と加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
三角関数のグラフの拡大と平行移動（数学II 三角関数）
単振動の変位・速度・加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
有効ポテンシャルと円軌道の安定性（大学物理力学（質点・剛体））
平行線と線分の比（中学数学相似と三平方の定理）
2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）
円の方程式（数学II 図形と方程式）
連立方程式の解き方（加減法・代入法）（中学数学方程式）
1 次関数の式の求め方（中学数学関数）
直線の方程式（数学II 図形と方程式）
点と直線の距離（数学II 図形と方程式）
円と直線の位置関係と弦の長さ（数学II 図形と方程式）
極方程式（数学C 平面上の曲線）
条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）
放物線の方程式と焦点・準線（数学C 平面上の曲線）
楕円の方程式と焦点（数学C 平面上の曲線）
双曲線の方程式と焦点・漸近線（数学C 平面上の曲線）
離心率と準線（数学C 平面上の曲線）
2 次曲線の極方程式（数学C 平面上の曲線）
向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
向心力と円運動の運動方程式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力の法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
人工衛星と静止衛星（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
円軌道の人工衛星の速さと周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力による位置エネルギーと脱出速度（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラーの 3 法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（高校物理円運動・単振動・万有引力）

説明

固定された中心から逆 2 乗の引力 $F = \frac{k}{r ^{2}}$ （ $k > 0$ 、ポテンシャル $U = - \frac{k}{r}$ 。万有引力なら $k = GM m$ ）を受けて運動する質点の軌道が、焦点を中心とする 2 次曲線 $r = \frac{l}{1 + e cos φ}$ になることを導き、使えるようになります。ここで $l = \frac{L ^{2}}{mk}$ 、 $e = 1 + \frac{2 E L ^{2}}{m k ^{2}}$ で、エネルギー $E$ と角運動量 $L$ だけで軌道の形と大きさが決まります。 $E < 0$ なら楕円、 $E = 0$ なら放物線、 $E > 0$ なら双曲線です。惑星・人工衛星・彗星の軌道の近点距離・遠点距離・長半径・周期を求めるのに使います。

なぜそうしてよいのか

有効ポテンシャルを使うと、エネルギーは $E = \frac{1}{2} m r ˙^{2} + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} - \frac{k}{r}$ です。軌道の形 $r (φ)$ を知りたいので時間を消します。 $u = \frac{1}{r}$ とおくと、 $φ ˙ = \frac{L}{m r ^{2}}$ より $r ˙ = \frac{d r}{d φ} φ ˙ = - \frac{1}{u ^{2}} \frac{d u}{d φ} \cdot \frac{L u ^{2}}{m} = - \frac{L}{m} \frac{d u}{d φ}$ となり、
$E = \frac{L ^{2}}{2 m} [(\frac{d u}{d φ})^{2} + u^{2}] - k u$
です。 $u$ について平方完成し、 $l = \frac{L ^{2}}{mk}$ とおくと
$(\frac{d u}{d φ})^{2} + (u - \frac{1}{l})^{2} = \frac{2 m E}{L ^{2}} + \frac{1}{l ^{2}} = \frac{e ^{2}}{l ^{2}}, e^{2} = 1 + \frac{2 E L ^{2}}{m k ^{2}}$
となります。「ある量とその微分の 2 乗和が一定」なのは単振動 $x = A cos θ$ と同じ形で、 $u - \frac{1}{l} = \frac{e}{l} cos (φ - φ_{0})$ が解です（実際、微分の 2 乗との和は $\frac{e ^{2}}{l ^{2}}$ ）。 $r$ が最小になる向き（近点）を $φ = 0$ にとれば $φ_{0} = 0$ で、 $r = \frac{l}{1 + e cos φ}$ が得られます。

これは焦点を極とする 2 次曲線の極方程式そのもので、 $e$ が離心率です。 $E < 0 ⟺ e < 1$ （楕円）、 $E = 0 ⟺ e = 1$ （放物線）、 $E > 0 ⟺ e > 1$ （双曲線）です。楕円なら $cos φ = 1, - 1$ で近点距離 $r_{m i n} = \frac{l}{1 + e}$ 、遠点距離 $r_{m a x} = \frac{l}{1 - e}$ 、長半径 $a = \frac{r _{m i n} + r _{m a x}}{2} = \frac{l}{1 - e ^{2}} = - \frac{k}{2 E}$ で、長半径はエネルギーだけで決まります。 $r_{m i n}$ , $r_{m a x}$ は有効ポテンシャルが $E$ に等しくなる点（ $r ˙ = 0$ の点）なので、2 次方程式 $E r^{2} + k r - \frac{L ^{2}}{2 m} = 0$ の 2 解としても求められます。周期は、面積速度 $\frac{L}{2 m}$ が一定で楕円の面積が $π ab$ （短半径 $b = a 1 - e^{2} = a l$ ）なので、 $T = \frac{π ab}{L / ( 2 m )} = 2 π \frac{m}{k} a^{3/2}$ です。

手順

軌道上のどこか 1 点の位置と速度から、角運動量 $L = m r v_{⊥}$ （ $v_{⊥}$ は速度の動径に垂直な成分）とエネルギー $E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{k}{r}$ を求める
$E$ の符号で軌道の形を判定する: $E < 0$ 楕円、 $E = 0$ 放物線、 $E > 0$ 双曲線
$l = \frac{L ^{2}}{mk}$ 、 $e = 1 + \frac{2 E L ^{2}}{m k ^{2}}$ を計算し、軌道の式 $r = \frac{l}{1 + e cos φ}$ （ $φ$ は近点から測った角）を書く
近点距離 $r_{m i n} = \frac{l}{1 + e}$ 、楕円なら遠点距離 $r_{m a x} = \frac{l}{1 - e}$ と長半径 $a = \frac{l}{1 - e ^{2}} = - \frac{k}{2 E}$ を求める
楕円なら周期 $T = 2 π \frac{m}{k} a^{3/2}$ を求める

例題

質量 $m$ の質点が、固定された点 O から大きさ $\frac{k}{r ^{2}}$ （ $k > 0$ は定数、 $r$ は O からの距離）の引力を受けて運動している。ある瞬間、質点は O から距離 $r_{0}$ の点で、O と結ぶ線分に垂直な向きに速さ $v_{0} = \frac{k}{2 m r _{0}}$ で動いていた。この軌道の近点距離（O に最も近づいたときの距離）を求めよ。

例題の解答

【手順 1】速度は動径に垂直なので $L = m r_{0} v_{0}$ 。 $m v_{0}^{2} = \frac{k}{2 r _{0}}$ を使うと
$E = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{k}{r _{0}} = \frac{k}{4 r _{0}} - \frac{k}{r _{0}} = - \frac{3 k}{4 r _{0}}$

【手順 2】 $E < 0$ なので軌道は楕円。

【手順 3】 $l = \frac{L ^{2}}{mk} = \frac{m ^{2} r _{0}^{2} v _{0}^{2}}{mk} = \frac{r _{0}^{2}}{k} \cdot \frac{k}{2 r _{0}} = \frac{r _{0}}{2}$ 。
$e^{2} = 1 + \frac{2 E L ^{2}}{m k ^{2}} = 1 + 2 E \cdot \frac{l}{k} = 1 + 2 (- \frac{3 k}{4 r _{0}}) \frac{r _{0}}{2 k} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
より $e = \frac{1}{2}$ 。

【手順 4】近点距離は $r_{m i n} = \frac{l}{1 + e} = \frac{r _{0} /2}{3/2} = \frac{r _{0}}{3}$ 。
（確認: 遠点距離は $\frac{l}{1 - e} = r_{0}$ で、はじめの点は速度が動径に垂直な遠点になっている。長半径 $a = \frac{r _{0} + r _{0} /3}{2} = \frac{2 r _{0}}{3}$ は $- \frac{k}{2 E} = \frac{2 r _{0}}{3}$ と一致する。）

答え: $\frac{r _{0}}{3}$

よくある誤り

半直弦 $l$ を近点距離や長半径と取り違える誤り。 $l$ は $φ = \frac{π}{2}$ での距離で、近点距離は $\frac{l}{1 + e}$ 、長半径は $\frac{l}{1 - e ^{2}}$ （上の例では $l = \frac{r _{0}}{2}$ 、近点距離 $\frac{r _{0}}{3}$ 、長半径 $\frac{2 r _{0}}{3}$ ）
角運動量を速さと距離の積で $L = m r v$ としてしまう誤り。速度が動径に垂直でない点では $L = m r v sin α$ （ $α$ は位置ベクトルと速度のなす角）で、 $m r v$ になるのは近点・遠点のように速度が動径に垂直なときだけ
離心率を $e = 1 + \frac{2 E L ^{2}}{m k ^{2}}$ と根号を付け忘れたり、 $E < 0$ を代入して $e$ の 2 乗が負になるのに気づかなかったりする誤り。正しくは $e = 1 + \frac{2 E L ^{2}}{m k ^{2}} \geq 0$ で、 $E$ は有効ポテンシャルの最小値 $- \frac{m k ^{2}}{2 L ^{2}}$ 以上なので根号の中は 0 以上になる
周期を $T = 2 π \frac{a ^{3}}{k}$ と質量を落としたり、 $a$ の代わりに近点距離を入れたりする誤り。正しくは $T = 2 π \frac{m a ^{3}}{k}$ （万有引力 $k = GM m$ なら $T = 2 π \frac{a ^{3}}{GM}$ ）で、 $a$ は長半径

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $M$ の天体の中心 $O$ から距離 $r_{0}$ の点 $P$ で、質量 $m$ （ $m ≪ M$ ）の人工衛星が、線分 $OP$ に垂直な向きに速さ
$v_{0} = \frac{3 GM}{2 r _{0}}$
で動いていた。ここで $G$ は万有引力定数である。人工衛星は天体からの万有引力だけを受けて運動し、天体は静止しているとみなす。
その後の運動で、人工衛星と $O$ の距離の最大値を、 $r_{0}$ を用いて表せ。
$O$ $P$ $r_{0}$ $v_{0}$
天体の中心 O と、点 P での人工衛星の速度

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

クーロン散乱の衝突径数と散乱角（大学物理原子核・素粒子）
連星の相対軌道と質量（大学物理宇宙物理・宇宙論）