角運動量とトルク

角運動量 $L = r \times p$ と力のモーメント $N = r \times F$ の関係 $\frac{d L}{d t} = N$ を使い、中心力のもとで角運動量が保存すること（面積速度一定）から、軌道上の別の点での速さや角速度を求められる

前提

力のモーメント（高校物理力と運動）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
極座標での運動方程式（大学物理力学（質点・剛体））

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算数中学高校大学大学院

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空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
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運動方程式（高校物理力と運動）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
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多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
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等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
極座標での運動方程式（大学物理力学（質点・剛体））

説明

質点の位置ベクトル $r$ と運動量 $p = m v$ の外積 $L = r \times p$ を角運動量といい、原点のまわりの「回転の勢い」を表します。力のモーメントを外積で $N = r \times F$ と書くと、運動方程式から $\frac{d L}{d t} = N$ が導けます。力がいつも原点に向かう（または原点から遠ざかる）中心力のときは $N = 0$ なので角運動量が保存し、これは「面積速度一定」とも言い換えられます。この技能で、惑星や人工衛星の軌道、糸で引かれて半径が変わる円運動などで、別の位置での速さや角速度を求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

$L = r \times m v$ を時間で微分します。外積の微分も積の微分と同じ形で $\frac{d L}{d t} = \frac{d r}{d t} \times m v + r \times m \frac{d v}{d t}$ となります（成分で書いて各成分に積の微分を使うと確かめられます。順序は入れ替えない）。第 1 項は $v \times m v$ で、平行なベクトルどうしの外積なので $0$ 。第 2 項は運動方程式 $m \frac{d v}{d t} = F$ より $r \times F = N$ 。よって $\frac{d L}{d t} = N$ です。 $N$ の大きさは $∣ r ∣∣ F ∣ sin θ$ で、これは「力の大きさ × うでの長さ」の力のモーメントそのものです。外積で書くことで、回転の向き（右ねじの進む向き）も含めて扱えます。

中心力とは、 $F$ がいつも $r$ と平行（原点向きか原点から外向き）な力です。このとき $N = r \times F = 0$ なので $L$ は一定です。 $L$ の向きが一定なので運動は $L$ に垂直な 1 つの平面内に限られ、大きさも一定です。平面内の極座標 $(r, φ)$ で速度は動径方向 $r ˙$ 、それに垂直な方向 $r φ ˙$ の成分をもち、 $r$ と平行な成分は外積に効かないので $∣ L ∣ = m r \cdot r φ ˙ = m r^{2} φ ˙$ です（極座標での $a_{φ} = r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙ = \frac{1}{r} \frac{d}{d t} (r^{2} φ ˙)$ が、中心力なら 0 になることからも $r^{2} φ ˙$ 一定がわかります）。

短い時間 $Δ t$ の間に、原点と質点を結ぶ線分が掃く面積は、 $r$ と $v Δ t$ を 2 辺とする三角形の面積 $\frac{1}{2} ∣ r \times v ∣Δ t$ です。したがって面積速度は $\frac{1}{2} ∣ r \times v ∣ = \frac{∣ L ∣}{2 m}$ で、角運動量が一定なら面積速度も一定になります。とくに軌道上で速度が $r$ に垂直になる点（原点に最も近い点・最も遠い点）では $∣ L ∣ = m r v$ と簡単に書けます。

手順

原点を力の中心にとり、質点にはたらく力が中心力（ $F ∥ r$ ）であること、または原点のまわりの力のモーメントの合計 $N = r \times F$ が $0$ であることを確かめる。
$\frac{d L}{d t} = N = 0$ より、角運動量 $L = r \times m v$ が保存すると結論する。
2 つの時刻（2 つの位置）で角運動量の大きさを書く。 $∣ L ∣ = m r v sin θ$ （ $θ$ は $r$ と $v$ のなす角）、極座標なら $∣ L ∣ = m r^{2} φ ˙$ 、速度が $r$ に垂直なら $m r v$ 。
2 つの値を等しいとおき、求める速さや角速度について解く。

例題

なめらかな水平な台の中央に小さな穴 O があり、質量 $m$ の小球をつけた糸がこの穴に通してある。小球は台の上で O を中心とする半径 $r_{0}$ の円運動を角速度 $ω_{0}$ でしている。台の下から糸をゆっくり引いて、小球の円運動の半径を $r_{1}$ にした。このときの小球の角速度を、 $ω_{0}$ , $r_{0}$ , $r_{1}$ を用いて求めよ。ただし、糸と穴の間に摩擦はなく、小球は台の上で穴の位置以外では台から離れず、半径を変えている途中も含めて台の上を運動するものとする。

例題の解答

手順 1: 原点を穴 O にとる。台の上で小球にはたらく力は、重力と台からの垂直抗力（つり合って打ち消し合う）と、糸の張力である。張力はいつも小球から O に向かうので、中心力である。重力と垂直抗力の和は $0$ なので、O のまわりの力のモーメントの合計は $N = r \times T = 0$ 。

手順 2: $\frac{d L}{d t} = 0$ より、O のまわりの小球の角運動量は、糸を引いている間も含めて一定。

手順 3: 極座標で $∣ L ∣ = m r^{2} φ ˙$ 。はじめは $m r_{0}^{2} ω_{0}$ 、半径 $r_{1}$ の円運動をしているときの角速度を $ω_{1}$ とすると $m r_{1}^{2} ω_{1}$ 。

手順 4: $m r_{0}^{2} ω_{0} = m r_{1}^{2} ω_{1}$ より
$ω_{1} = \frac{r _{0}^{2}}{r _{1}^{2}} ω_{0}$

答え: $\frac{r _{0}^{2}}{r _{1}^{2}} ω_{0}$

よくある誤り

角運動量の大きさを $m r ω$ や $m r^{2} v$ としてしまう誤り。正しくは $∣ L ∣ = m r^{2} φ ˙$ 、速度が $r$ に垂直なら $∣ L ∣ = m r v$ 。 $v = r φ ˙$ と混同しないように、次元（ $kg m^{2} /s$ ）で確かめるとよい。
楕円軌道上の任意の点で $∣ L ∣ = m r v$ としてしまう誤り。正しくは $∣ L ∣ = m r v sin θ$ （ $θ$ は $r$ と $v$ のなす角）で、 $m r v$ と書けるのは速度が $r$ に垂直な点（原点に最も近い点・最も遠い点や円軌道）だけ。
糸を引くと張力が仕事をするのに、運動エネルギーが保存するとして $\frac{1}{2} m r_{0}^{2} ω_{0}^{2} = \frac{1}{2} m r_{1}^{2} ω_{1}^{2}$ から $ω_{1} = \frac{r _{0}}{r _{1}} ω_{0}$ としてしまう誤り。保存するのは角運動量で、正しくは $ω_{1} = \frac{r _{0}^{2}}{r _{1}^{2}} ω_{0}$ （運動エネルギーは張力の仕事の分だけ増える）。
外積の順序を逆にして $L = p \times r$ や $N = F \times r$ としてしまう誤り。向きが反対になり、回転の向きを逆に判定してしまう。正しくは $L = r \times p$ 、 $N = r \times F$ で、 $\frac{d L}{d t} = N$ の両辺は同じ順序で定義する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
なめらかな水平な台の中央に小さな穴 $O$ があり、穴に通した軽い糸の一端に質量 $m$ の小球をつけ、もう一端を台の下で手で持っている。はじめ小球は $O$ を中心とする半径 $a$ の円周上を、角速度 $ω_{0}$ で等速円運動していた。その後、手で糸をゆっくり下に引き、小球と $O$ の距離を $\frac{a}{2}$ にした。このとき小球は $O$ を中心とする半径 $\frac{a}{2}$ の等速円運動をしていた。
このときの小球の角速度を、 $ω_{0}$ を用いて表せ。ただし、糸と穴のあいだの摩擦は無視できるものとする。
$O$ $a$ $m$ $ω_{0}$
台を上から見た図（はじめの状態）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

有効ポテンシャルと円軌道の安定性（大学物理力学（質点・剛体））
固定軸のまわりの回転と転がり運動（大学物理力学（質点・剛体））
慣性テンソルによる角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））