慣性テンソルによる角運動量とトルク

$L = I ω$ で角運動量を求め、主軸でない軸のまわりに一定の角速度で回転させるとき $L$ が $ω$ と平行でなくなることから、軸受けが及ぼすトルク $\frac{d L}{d t} = ∣ ω \times L ∣$ や回転の運動エネルギー $\frac{1}{2} ω \cdot I ω$ を求められる

前提

慣性テンソルと主慣性モーメント（大学物理力学（質点・剛体））
角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））

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算数中学高校大学大学院

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極座標での運動方程式（大学物理力学（質点・剛体））
角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））

説明

剛体が点 O（固定点または重心）のまわりに角速度ベクトル $ω$ で回っているとき、角運動量は慣性テンソル $I$ を使って $L = I ω$ （成分では $L_{i} = \sum_{j} I_{ij} ω_{j}$ ）と計算できます。 $ω$ が主軸の向きでないと $L$ は $ω$ と平行にならず、一定の角速度で回していても $L$ の向きが変わり続けるので、軸受けがトルク $N = \frac{d L}{d t} = ω \times L$ を加え続ける必要があります。車輪やロータの「釣り合いの悪さ」で軸受けにかかる負担や、回転の運動エネルギー $\frac{1}{2} ω \cdot I ω$ を求める場面で使います。

なぜそうしてよいのか

剛体の各部分（質量 $m_{k}$ 、O からの位置 $r_{k}$ ）の速度は $v_{k} = ω \times r_{k}$ です。角運動量は $L = \sum_{k} m_{k} r_{k} \times (ω \times r_{k})$ で、ベクトル 3 重積の公式 $a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$ を使うと $L = \sum_{k} m_{k} (r_{k}^{2} ω - (r_{k} \cdot ω) r_{k})$ です。 $i$ 成分を取ると $L_{i} = \sum_{j} [\sum_{k} m_{k} (r_{k}^{2} δ_{ij} - x_{k i} x_{k j})] ω_{j} = \sum_{j} I_{ij} ω_{j}$ となり、慣性テンソルの定義そのものが現れます。同様に運動エネルギーは $\frac{1}{2} \sum_{k} m_{k} ∣ ω \times r_{k} ∣^{2} = \frac{1}{2} \sum_{k} m_{k} (r_{k}^{2} ω^{2} - (r_{k} \cdot ω)^{2}) = \frac{1}{2} ω \cdot I ω$ です。

$I$ は対称行列なので、 $ω$ が $I$ の固有ベクトル（主軸）の向きなら $I ω = I_{1} ω$ となって $L ∥ ω$ ですが、そうでなければ慣性乗積の分だけ $L$ は $ω$ からずれます。

剛体が向きの変わらない一定の $ω$ で回るとき、剛体に固定した座標で見ると $I$ の成分も $ω$ の成分も変わらないので、 $L$ は剛体に貼りついたベクトルです。剛体に貼りついたベクトル $A$ は剛体の点と同じく $\frac{d A}{d t} = ω \times A$ で動くので、 $\frac{d L}{d t} = ω \times L$ です。 $L$ が $ω$ と平行でなければこれは 0 でなく、 $\frac{d L}{d t} = N$ より、その分のトルクを外から（軸受けが）与えなければなりません。大きさは $L$ の $ω$ に垂直な成分 $L_{⊥}$ を使って $∣ N ∣ = ω L_{⊥}$ です。

手順

回転の中心 O（固定点または重心）を原点に座標を取り、O のまわりの慣性テンソル $I_{ij} = \int (r^{2} δ_{ij} - x_{i} x_{j}) d m$ を求める
$ω$ を成分で書き、行列の積 $L = I ω$ を計算する
$L$ と $ω$ が平行か確かめる（平行なら軸受けのトルクは 0）
$ω$ が一定なら、軸受けのトルクを $N = ω \times L$ で求め、大きさ $∣ N ∣ = ω L_{⊥}$ （ $L_{⊥}$ は $L$ の $ω$ に垂直な成分）を出す
回転の運動エネルギーが必要なら $K = \frac{1}{2} ω \cdot L = \frac{1}{2} ω \cdot I ω$ を計算する

例題

質量 $M$ 、長さ $l$ の一様な細い棒の中点を原点 O に固定し、O を通る鉛直な軸（ $z$ 軸）のまわりに、棒と $z$ 軸のなす角を $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ に保ったまま一定の角速度 $ω$ で回転させる。棒の太さは無視し、重力は考えない。この回転を保つために軸受けが棒に及ぼすトルクの大きさを求めよ。

例題の解答

【手順 1】ある瞬間、棒が $x z$ 平面内にあるとし、棒の向きの単位ベクトルを $e = (sin θ, 0, cos θ)$ とする。棒の点は $r = s e (- \frac{l}{2} \leq s \leq \frac{l}{2})$ 、 $d m = \frac{M}{l} d s$ なので
$I_{ij} = \int_{- l /2}^{l /2} s^{2} (δ_{ij} - e_{i} e_{j}) \frac{M}{l} d s = \frac{M l ^{2}}{12} (δ_{ij} - e_{i} e_{j})$

【手順 2】 $ω = (0, 0, ω)$ より $e \cdot ω = ω cos θ$ で
$L = \frac{M l ^{2}}{12} (ω - (e \cdot ω) e) = \frac{M l ^{2} ω}{12} (- sin θ cos θ, 0, sin^{2} θ)$

【手順 3】 $L$ は $x$ 成分を持つので $ω$ （ $z$ 方向）と平行でない。

【手順 4】 $L$ の $ω$ に垂直な成分は $L_{⊥} = \frac{M l ^{2} ω}{12} sin θ cos θ$ 。 $ω$ は一定なので
$∣ N ∣ = ∣ ω \times L ∣ = ω L_{⊥} = \frac{M l ^{2} ω ^{2}}{12} sin θ cos θ$
（向きは $z^\times (- x^) = - y^$ 方向で、棒とともに回る。）

答え: $\frac{M l ^{2} ω ^{2}}{12} sin θ cos θ$

よくある誤り

どんな軸のまわりでも $L = I_{z z} ω$ のように 1 つの数を掛けるだけで $L$ が求まるとしてしまう誤り。正しくは $L_{i} = \sum_{j} I_{ij} ω_{j}$ で、慣性乗積 $I_{x z}$ などがあれば $ω = (0, 0, ω)$ でも $L_{x} = I_{x z} ω \neq = 0$ となる
角速度が一定なら $\frac{d L}{d t} = 0$ だから軸受けのトルクは 0、としてしまう誤り。 $L$ は剛体とともに回るので $\frac{d L}{d t} = ω \times L$ で、 $L ∥ ω$ （主軸のまわりの回転）のときだけ 0 になる
トルクの大きさを $ω ∣ L ∣$ としてしまう誤り。正しくは $∣ ω \times L ∣ = ω L_{⊥}$ で、 $ω$ に平行な成分 $L_{∥}$ は寄与しない（上の例で $ω ∣ L ∣ = \frac{M l ^{2} ω ^{2}}{12} sin θ$ ではなく $\frac{M l ^{2} ω ^{2}}{12} sin θ cos θ$ ）
回転の運動エネルギーを $\frac{1}{2} ∣ L ∣ ω$ や $\frac{1}{2} tr (I) ω^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $K = \frac{1}{2} ω \cdot I ω = \frac{1}{2} ω \cdot L$ （上の例では $\frac{M l ^{2} ω ^{2}}{24} sin^{2} θ$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
固定された直線の軸のまわりに、剛体を一定の角速度の大きさ $ω$ で回転させる。軸上の点 O を原点とし、軸に沿って $z$ 軸をとる。剛体は、質量の無視できる細いシャフト（ $z$ 軸に一致する）と、シャフトに垂直に固定された質量の無視できる 2 本の細い腕と、腕の先に取り付けた 2 つの小さなおもり P, Q（質点とみなす）からなる。
- おもり P（質量 $m$ ）は、 $z = h$ の位置でシャフトに垂直に取り付けた腕の先にあり、軸からの距離は $a$ である。
- おもり Q（質量 $2 m$ ）は、 $z = - h$ の位置でシャフトに垂直に取り付けた腕の先にあり、軸からの距離は $\frac{a}{2}$ である。
- P と Q は、軸を含む 1 つの平面内で、軸をはさんで互いに反対側にある。
シャフトは $z = d$ と $z = - d$ の位置にある 2 つの軸受けで支えられていて、軸受けはシャフトに軸に垂直な向きの力だけを及ぼす。重力の影響は考えず、 $a > 0$ , $h > 0$ , $d > 0$ , $m > 0$ , $ω > 0$ とする。
$z = d$ の位置の軸受けがシャフトに及ぼす力の大きさ $F$ を、 $m$ , $a$ , $h$ , $d$ , $ω$ を用いて表せ。
$O$ $P$ $Q$ $a$ $\frac{a}{2}$ $m$ $2 m$ 軸受け軸受け $z$ , $ω$ $h$ $h$ $d$ $d$
P, Q を含む平面内の様子（ある瞬間）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

オイラーの運動方程式とこまの運動（大学物理力学（質点・剛体））