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力学（質点・剛体）の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理力学（質点・剛体）

固定された直線の軸のまわりに、剛体を一定の角速度の大きさ $ω$ で回転させる。軸上の点 O を原点とし、軸に沿って $z$ 軸をとる。剛体は、質量の無視できる細いシャフト（ $z$ 軸に一致する）と、シャフトに垂直に固定された質量の無視できる 2 本の細い腕と、腕の先に取り付けた 2 つの小さなおもり P, Q（質点とみなす）からなる。

おもり P（質量 $m$ ）は、 $z = h$ の位置でシャフトに垂直に取り付けた腕の先にあり、軸からの距離は $a$ である。
おもり Q（質量 $2 m$ ）は、 $z = - h$ の位置でシャフトに垂直に取り付けた腕の先にあり、軸からの距離は $\frac{a}{2}$ である。
P と Q は、軸を含む 1 つの平面内で、軸をはさんで互いに反対側にある。

シャフトは $z = d$ と $z = - d$ の位置にある 2 つの軸受けで支えられていて、軸受けはシャフトに軸に垂直な向きの力だけを及ぼす。重力の影響は考えず、 $a > 0$ , $h > 0$ , $d > 0$ , $m > 0$ , $ω > 0$ とする。

$z = d$ の位置の軸受けがシャフトに及ぼす力の大きさ $F$ を、 $m$ , $a$ , $h$ , $d$ , $ω$ を用いて表せ。

O

P

Q

a

\frac{a}{2}

m

2 m

軸受け軸受け

z

ω

h

h

d

d

P, Q を含む平面内の様子（ある瞬間）

この問題で使うもの

慣性テンソルによる角運動量とトルク（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（102 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず重心の位置を調べて、2 つの軸受けの力の関係を決めます。次に、O のまわりの角運動量の時間変化から、軸受けが与えるトルクを求めましょう。

ヒント 2

重心は軸上にあるので、2 つの軸受けの力は大きさが等しく逆向き（偶力）です。角運動量 $L = \sum m r \times (ω \times r)$ は一定の角速度で軸のまわりを回るので、 $\frac{d L}{d t} = ω \times L$ です。

ヒント 3

P と Q を $x z$ 平面内にとると、 $L$ の $x$ 成分は $L_{x} = - 2 mahω$ になります。必要なトルクの大きさは $ω ∣ L_{x} ∣$ で、これが間隔 $2 d$ の偶力のモーメント $2 d F$ に等しくなります。

答えと解説

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\frac{mah ω ^{2}}{d}

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解説を読む

1. 座標をとる

ある瞬間に、P と Q が $x z$ 平面内にあり、P が $x > 0$ の側にあるように $x$ 軸をとる。角速度ベクトルは $ω = (0, 0, ω)$ で、
$P : (a, 0, h), Q : (- \frac{a}{2}, 0, - h)$

2. 重心の位置と軸受けの力の合力

重心の $x$ 座標は
$x_{G} = \frac{m \cdot a + 2 m \cdot ( - \frac{a}{2} )}{3 m} = 0$
で、 $y$ 座標も $0$ なので、重心は軸上にあって動かない。重心の運動方程式より、外力の合力は $0$ である。重力は考えないので、外力は 2 つの軸受けの力 $F_{1}$ （ $z = d$ ）、 $F_{2}$ （ $z = - d$ ）だけで、
$F_{1} + F_{2} = 0 より F_{2} = - F_{1}$
となる。2 つの力は大きさが等しく逆向きの偶力になる。

3. O のまわりの角運動量

各おもりの速度は $v = ω \times r$ である。
- P: $v_{P} = (0, 0, ω) \times (a, 0, h) = (0, aω, 0)$ なので
$L_{P} = m (a, 0, h) \times (0, aω, 0) = m (- ahω, 0, a^{2} ω)$
- Q: $v_{Q} = (0, 0, ω) \times (- \frac{a}{2}, 0, - h) = (0, - \frac{aω}{2}, 0)$ なので
$L_{Q} = 2 m (- \frac{a}{2}, 0, - h) \times (0, - \frac{aω}{2}, 0) = 2 m (- \frac{ahω}{2}, 0, \frac{a ^{2} ω}{4}) = m (- ahω, 0, \frac{a ^{2} ω}{2})$

合計すると
$L = (- 2 mahω, 0, \frac{3}{2} m a^{2} ω)$
$x$ 成分があるので、 $L$ は回転軸と平行でない（ $z$ 軸は主軸でない）。

4. 必要なトルク

剛体が一定の角速度 $ω$ で回転するので、 $L$ も大きさを変えずに $z$ 軸のまわりを角速度 $ω$ で回り、
$\frac{d L}{d t} = ω \times L = (0, 0, ω) \times (L_{x}, 0, L_{z}) = (0, ω L_{x}, 0)$
となる。O のまわりの角運動量の式 $\frac{d L}{d t} = N$ より、外力のトルクの大きさは
$N = ω ∣ L_{x} ∣ = 2 mah ω^{2}$

5. 軸受けの力を求める

軸受けの力はどちらも軸に垂直で、 $F_{2} = - F_{1}$ なので、O のまわりのトルクは
$N = (0, 0, d) \times F_{1} + (0, 0, - d) \times (- F_{1}) = 2 (0, 0, d) \times F_{1}$
$F_{1}$ は $z$ 軸に垂直なので、その大きさは $N = 2 d F$ である。よって
$2 d F = 2 mah ω^{2} より F = \frac{mah ω ^{2}}{d}$

別解

P を $(a, 0, h)$ 、Q を $(- a /2, 0, - h)$ とおく（瞬間の配置）。各おもりには軸に向かう向心力が必要で、P: $- m ω^{2} a x^$ 、Q: $+ 2 m ω^{2} (a /2) x^= + m ω^{2} a x^$ 。2 つの軸受けの力を $z = d$ で $F_{1} x^$ 、 $z = - d$ で $F_{2} x^$ （軸方向成分はなし、 $y$ 成分は 0 と確かめられる）とする。全体の運動方程式（力）: $F_{1} + F_{2} = - m ω^{2} a + m ω^{2} a = 0$ 。原点まわりの力のモーメントの $y$ 成分（ $z F_{x} - x F_{z}$ ）: 軸受けは $d F_{1} - d F_{2}$ 、おもりに必要な力のモーメントの和は $h (- m ω^{2} a) + (- h) (m ω^{2} a) = - 2 m ω^{2} ah$ 。よって $d (F_{1} - F_{2}) = - 2 m ω^{2} ah$ 。 $F_{2} = - F_{1}$ を使うと $2 d F_{1} = - 2 m ω^{2} ah$ より $F_{1} = - \frac{m ω ^{2} ah}{d}$ 。大きさは $F = \frac{m ω ^{2} ah}{d}$ 。検算: $z = - d$ の軸受けは逆向きで同じ大きさとなり、偶力が 2 つのおもりに必要な力のモーメントを担う。

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