力学（質点・剛体）の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理力学（質点・剛体）

地球は、地軸のまわりに一定の角速度 $Ω$ で自転している（角速度ベクトルは南極から北極の向き）。北緯 $φ$ （ $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）の地点で、質量 $m$ の物体が水平な地面に沿って真北に、地面に対して一定の速さ $v$ で動いている。

地球とともに回転する座標系で見たとき、この物体にはたらくコリオリ力の水平成分の大きさを、 $m$ , $Ω$ , $v$ , $φ$ を用いて表せ。ただし、地球は球とみなす。

O

P

Ω

v

（北向き）

φ

地軸を含む断面（P が物体のいる地点）

この問題で使うもの

コリオリ力（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（67 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

回転座標系での運動方程式のコリオリ力の項 $- 2 m Ω \times v^{'}$ を計算する。

ヒント 2

東を $x$ 、北を $y$ 、鉛直上向きを $z$ とすると、北緯 $φ$ では $Ω = (0, Ω cos φ, Ω sin φ)$ 、 $v^{'} = (0, v, 0)$ 。

ヒント 3

外積 $Ω \times v^{'}$ を成分で計算すると、 $x$ 成分だけが残る。その大きさに $2 m$ を掛ける。

答えと解説

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2 m Ω v sin φ

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解説を読む

回転座標系での運動方程式
$m a^{'} = F - 2 m Ω \times v^{'} - m Ω \times (Ω \times r)$
の第 2 項 $- 2 m Ω \times v^{'}$ がコリオリ力である。

座標をとる　物体のいる地点で、東向きを $x$ 軸、北向きを $y$ 軸、鉛直上向きを $z$ 軸とする。北緯 $φ$ の地点では、地軸（北極向き）は北の水平方向から上へ角 $φ$ だけ傾いているので
$Ω = (0, Ω cos φ, Ω sin φ)$
である。物体の速度は真北向きなので $v^{'} = (0, v, 0)$ である。

外積を計算する
$Ω \times v^{'} = e_{x} 00 e_{y} Ω cos φ v e_{z} Ω sin φ 0 = (Ω cos φ \cdot 0 - Ω sin φ \cdot v, 0, 0) = (- Ω v sin φ, 0, 0)$
よってコリオリ力は
$- 2 m Ω \times v^{'} = (2 m Ω v sin φ, 0, 0)$
となる。これは東向き（進行方向の右向き）の水平な力で、鉛直成分は $0$ である。

したがって、コリオリ力の水平成分の大きさは
$2 m Ω v sin φ$
である。（ $Ω$ の水平成分 $Ω cos φ$ は $v^{'}$ と平行なので寄与せず、鉛直成分 $Ω sin φ$ だけが効く。）

別解

コリオリ力は $F = - 2 m Ω \times v$ 。北緯 $φ$ の地点で、東・北・鉛直上向きを $e^_{x}, e^_{y}, e^_{z}$ とすると $Ω = Ω (0, cos φ, sin φ)$ 、 $v = (0, v, 0)$ 。 $Ω \times v = Ω v (cos φ \cdot 0 - sin φ \cdot 1, 0, 0) = (- Ω v sin φ, 0, 0)$ 。よって $F = (2 m Ω v sin φ, 0, 0)$ で、東向き（北半球で進行方向の右向き）の水平な力となり、鉛直成分は 0。大きさは $2 m Ω v sin φ$ 。検算: 北極 $φ = π /2$ で $2 m Ω v$ （最大）、赤道 $φ = 0$ で 0 となり妥当。

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