慣性力

加速度 $a$ で動く観測者から見たとき、物体に慣性力 $- m a$ を加えてつり合いや運動方程式を立て、加速・減速するエレベーター内の垂直抗力や、加速する台の上で静止する物体にはたらく力を求められる

前提

運動方程式（高校物理力と運動）
慣性系・非慣性系と慣性力（高校物理力と運動（知識））

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算数中学高校大学大学院

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慣性系・非慣性系と慣性力（高校物理力と運動（知識））

説明

慣性力を使うと、加速している乗り物の中にいる観測者の立場で、物体にはたらく力を「つり合い」や運動方程式として扱えます。加速・減速するエレベーターの床が人を押す垂直抗力、加速する電車の天井からつるしたおもりの糸の傾きや張力、加速する台の上で静止している物体にはたらく静止摩擦力などを求めるときに使います。乗り物の中で物体が静止して見える場面では、慣性力を含めた力のつり合いの式を立てるだけで済むことが多く、見通しよく計算できます。

なぜそうしてよいのか

地面に静止した観測者から見て、加速度 $a$ で動く乗り物があるとします。物体に実際にはたらく力（重力・垂直抗力・張力・摩擦力など）の合力を $F$ とします。物体が乗り物と一緒に動いていれば、地面から見た物体の加速度も $a$ なので、運動方程式は $m a = F$ です。これを移項すると $F + (- m a) = 0$ となります。乗り物の中の観測者から見ると物体は静止しているので、この式は「実際の力 $F$ と、もう 1 つの力 $- m a$ がつり合っている」と読めます。この $- m a$ が慣性力で、向きは乗り物の加速度と逆、大きさは $ma$ です。

物体が乗り物に対して動いている場合も同じように考えられます。乗り物の中の観測者から見た物体の加速度を $a^{'}$ とします。地面から見た物体の速度は「乗り物の速度」と「乗り物から見た物体の速度」の和なので、その時間変化率である加速度も和になり、地面から見た物体の加速度は $a + a^{'}$ です。地面の観測者の運動方程式は $m (a + a^{'}) = F$ で、 $m a$ を右辺に移項すると $m a^{'} = F + (- m a)$ となります。つまり乗り物の中の観測者は、実際の力に慣性力 $- m a$ を加えれば、ふつうの運動方程式と同じ形で物体の運動を扱えます。 $a^{'} = 0$ の場合が、先ほどのつり合いの式です。

たとえば、水平右向きに加速度 $a$ で加速する台の上で、質量 $m$ の物体が台に対して静止しているとします。台の上の観測者から見ると、物体には左向きの慣性力 $ma$ がはたらくように見え、これを台からの静止摩擦力 $f$ （右向き）が打ち消しています。水平方向のつり合いから $f = ma$ です。静止摩擦力は大きさが決まっていない力なので、未知数として置いてつり合いから決めます。ただし静止していられるのは $f$ が最大摩擦力以下のとき、つまり静止摩擦係数を $μ$ として $ma ≦ μ m g$ （ $a ≦ μg$ ）のときに限ります。

手順

観測者（乗り物）を決め、その加速度 $a$ の向きと大きさを確認する。速度の向きではなく加速度の向きを見る（減速中は速度と逆向き）。
物体に実際にはたらく力（重力 $m g$ 、垂直抗力、張力、摩擦力など）をすべて図示する。静止摩擦力のように大きさが決まっていない力は未知数として置く。
乗り物の加速度と逆向きに、大きさ $ma$ の慣性力を物体に描き加える。
物体が乗り物の中で静止して見えるなら、慣性力を含めた力のつり合いの式を成分ごとに立てる。乗り物に対して加速度 $a^{'}$ で動くなら $m a^{'} = F + (- m a)$ を成分ごとに立てる。
式を解いて求める力を求め、垂直抗力が $0$ 以上か、静止摩擦力が最大摩擦力以下かなど、前提が成り立つ条件を確認する。

例題

エレベーターが、鉛直上向きに大きさ $a$ の一定の加速度で上昇しながら加速している。エレベーターの床の上に質量 $m$ の物体が静止して置かれている。重力加速度の大きさを $g$ とする。エレベーター内の観測者の立場で考え、床が物体を押す垂直抗力の大きさ $N$ を $m$ , $g$ , $a$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1：観測者はエレベーターで、その加速度は鉛直上向き、大きさ $a$ である。
手順 2：物体に実際にはたらく力は、鉛直下向きの重力 $m g$ と、床からの鉛直上向きの垂直抗力 $N$ である。
手順 3：加速度が上向きなので、慣性力は鉛直下向きで大きさ $ma$ である。
手順 4：エレベーター内の観測者から見て物体は静止しているので、鉛直方向の力のつり合いより、上向きの力の和と下向きの力の和が等しく $N = m g + ma$ となる。
手順 5：よって $N = m (g + a)$ 。これは正なので、物体は床から離れないという前提とも合っている。（確認：地面の観測者の運動方程式 $ma = N - m g$ からも同じ結果になる。）

答え: $m (g + a)$

よくある誤り

上昇しながら減速するエレベーターで、運動の向き（上向き）を見て慣性力を下向きにしてしまう誤り。正しくは加速度が下向き（大きさ $a$ ）なので慣性力は上向きで、つり合いは $N + ma = m g$ より $N = m (g - a)$ 。垂直抗力は $N ≧ 0$ でなければならないので、物体が床から離れずにいるには $a ≦ g$ が必要で、 $a > g$ なら物体は床から離れてしまいこの式は使えない。
地面に静止した観測者の運動方程式 $ma = N - m g$ に、さらに慣性力を加えて $ma = N - m g - ma$ としてしまう誤り。正しくは、慣性力は加速する観測者の立場でだけ考え、地面の観測者なら $ma = N - m g$ 、エレベーター内の観測者なら $N - m g - ma = 0$ のどちらか一方を使う。
水平右向きに加速度 $a$ で加速する電車の天井から糸でつるしたおもりについて、糸の鉛直からの傾き $θ$ を $tan θ = \frac{g}{a}$ としてしまう誤り。正しくは、水平左向きの慣性力 $ma$ と鉛直下向きの重力 $m g$ の合力が張力とつり合うので $tan θ = \frac{ma}{m g} = \frac{a}{g}$ で、糸は鉛直から後方（左）に傾く。
水平に加速度 $a$ で加速する台の上で静止する物体の静止摩擦力を、最大摩擦力の式で $f = μ m g$ としてしまう誤り。正しくは、静止摩擦力は慣性力とのつり合いで決まり $f = ma$ で、 $μ m g$ はその上限（ $ma ≦ μ m g$ のときだけ静止できる）である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

見かけの重力（高校物理力と運動）
重心運動と相対運動（大学物理力学（質点・剛体））
回転座標系と遠心力（大学物理力学（質点・剛体））