力と運動の問題

トラックの加速度の大きさを $a$、小物体の質量を $m$、静止摩擦係数を $\mu =\frac{\sqrt{3}}{5}$ とする。

加速しないとき

$\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}>\frac{\sqrt{3}}{5}=\mu$ なので、トラックが加速していなければ小物体はすべり下りてしまう。加速による慣性力の助けが必要である。

トラックとともに動く観測者から見た力

トラックとともに動く観測者から見ると、小物体には重力 $mg$、垂直抗力 $N$、静止摩擦力 $f$ のほかに、加速度と逆向き（後ろ向き）に大きさ $ma$ の慣性力がはたらく。この観測者から見て小物体は静止しているので、これらの力はつり合っている。

斜面は後ろに向かって高くなっているので、後ろ向きの慣性力は、斜面にそって上向きの成分 $ma\cos 30^{\circ }$ と、斜面に垂直で斜面に押しつける向きの成分 $ma\sin 30^{\circ }$ に分けられる。

• 斜面に垂直な方向: $N=mg\cos 30^{\circ }+ma\sin 30^{\circ }$
• 斜面にそった方向: 小物体をすべり下ろそうとする力は $mg\sin 30^{\circ }-ma\cos 30^{\circ }$ で、これを斜面上向きの静止摩擦力 $f$ が支える: $f=mg\sin 30^{\circ }-ma\cos 30^{\circ }$

すべり下りない条件

$f\le \mu N$ が必要なので
$$mg\sin 30^{\circ }-ma\cos 30^{\circ }\le \mu \left(mg\cos 30^{\circ }+ma\sin 30^{\circ }\right)$$
$$a\left(\cos 30^{\circ }+\mu \sin 30^{\circ }\right)\ge g\left(\sin 30^{\circ }-\mu \cos 30^{\circ }\right)$$
ここで
$$\sin 30^{\circ }-\mu \cos 30^{\circ }=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{10}=\frac{1}{5}$$
$$\cos 30^{\circ }+\mu \sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{10}=\frac{3\sqrt{3}}{5}$$
よって
$$a\ge \frac{1/5}{3\sqrt{3}/5}g=\frac{g}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}g$$

（なお、$a$ を大きくしすぎると小物体はすべり上がるが、その境目は $a=\frac{\sin 30^{\circ }+\mu \cos 30^{\circ }}{\cos 30^{\circ }-\mu \sin 30^{\circ }}g=\frac{2\sqrt{3}}{3}g$ で、求めた最小値より大きいので、最小値 $\frac{\sqrt{3}}{9}g$ で小物体は静止できる。）

斜面の傾きを $\theta =30^{\circ }$（$\sin \theta =\frac{1}{2}$、$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$）、小物体の質量を $m$、トラックの加速度を前向きに $a$ とする。斜面は後ろに向かうほど高いので、斜面を下る向きは前方斜め下向きである。

トラックの上で見ると（トラックとともに動く観測者）、小物体には重力 $mg$（鉛直下向き）、斜面からの垂直抗力 $N$、静止摩擦力 $f$ のほかに、慣性力 $ma$（後ろ向き）がはたらく。

斜面に垂直な方向（斜面に押しつける向きを正）:
- 重力の成分: $mg\cos \theta$
- 慣性力（後ろ向き）は斜面に押しつける向きの成分 $ma\sin \theta$ をもつ

$N=mg\cos \theta +ma\sin \theta$

斜面に平行な方向（斜面を下る向きを正）:
- 重力の成分: $mg\sin \theta$（下向き）
- 慣性力（後ろ向き）は斜面を上る向きの成分 $ma\cos \theta$ をもつ
- 静止摩擦力は上り向きに $f$（すべり下りようとするのを止める）

$mg\sin \theta -ma\cos \theta -f=0$、すなわち $f=mg\sin \theta -ma\cos \theta$

すべり下りない条件は $f\le \mu N$ なので
$mg\sin \theta -ma\cos \theta \le \mu (mg\cos \theta +ma\sin \theta )$
$g(\sin \theta -\mu \cos \theta )\le a(\cos \theta +\mu \sin \theta )$

$\mu =\frac{\sqrt{3}}{5}$ を代入する。
$\sin \theta -\mu \cos \theta =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{10}=\frac{1}{5}$
$\cos \theta +\mu \sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{10}=\frac{6\sqrt{3}}{10}=\frac{3\sqrt{3}}{5}$

$a\ge \frac{g/5}{3\sqrt{3}/5}=\frac{g}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}g$

検算: $a=\frac{g}{3\sqrt{3}}$ のとき、$N=mg\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{2}\right)=mg\cdot \frac{9+1}{6\sqrt{3}}=\frac{5}{3\sqrt{3}}mg$。$\mu N=\frac{\sqrt{3}}{5}\cdot \frac{5}{3\sqrt{3}}mg=\frac{1}{3}mg$。一方 $f=mg\cdot \frac{1}{2}-m\frac{g}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}mg-\frac{1}{6}mg=\frac{1}{3}mg$。$f=\mu N$ で一致する。